Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 28 Марта

Центральный угол на $\mathrm{89°}$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Определите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Векторы $\overrightarrow{a}(2;-4)$ и $\overrightarrow{b}(2;-8)$ заданы компонентами. Найдите их скалярное произведение.

Найдите объём многогранника в прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $D_1$, если $AB=12$, $BC=2$, $C{C}_1=11$.

Подбрасывая симметричную монету 2 раза, определите вероятность выпадения орла ровно 2 раза.

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 16 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Найдите корень уравнения ${\log }_8(8-x)={\log }_8\left(14\right)$

Решите для значения выражения $\frac{{11}^{-5.3}\cdot 2^{-6.3}}{{22}^{-7.3}}$

На графике изображён график функции y = $\mathrm{m(x)}$. На оси абсцисс отмечены точки  x₀, x₁. Укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $\mathrm{m(x)}$ положительна.

Электроплита может работать в сети с напряжением 180 В только при сопротивлении не менее определенного значения. Сила тока, которая вычисляется по формуле $I=\frac{U}{R}$, не должна превышать 5 А. Каково минимальное значение сопротивления, при котором сеть будет работать? Ответ дайте в омах.

На нефтяной платформе две скважины качают нефть. Первая скважина опустошает резервуар объёмом 990 литров на 4 часа медленнее, чем вторая, пропуская на 88 литров нефти в час меньше. Какова скорость работы первой скважины?

График функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ изображен на рисунке. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=3$.

Найдите минимум функции $-4\cdot \sqrt{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{12}{\pi }\cdot x-8$ на интервале $[\frac{3\cdot \pi }{4}-4\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${14641}^{\sin \left(x\right)}-132\cdot {121}^{\sin \left(x\right)}+1331=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7\cdot \pi }{2};\frac{9\cdot \pi }{2}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=8$ см, ${\mathrm{CC}}_1=16\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{15}^x-15-5^{x+1}+3^x}{x^2-4\cdot x+3}$\ge 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{50}$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-49\cdot x^2+4\cdot a^2}=x^2+7\cdot x-2\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Есть три коробки. В одной из них 112 камней, в другой — 89, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 79 камней, во второй — 89, а в третьей — 33?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?