Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 02 Марта

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(15;20)$.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличится в 9 раз, а остальные размеры не изменятся.

На корабле 30 мест, из которых 18 мест - удобные места в каюте с балконом и на верхней палубе. Найдите вероятность того, что при случайном выборе пассажиру на корабле достанутся удобные места.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется больше 45 пассажиров, равна 0.79. Вероятность того, что окажется больше 28 пассажиров, равна 0.47. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 29 до 45.

Найдите корень уравнения ${(11-x)}^2=576$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Что получится, если решить $\frac{{\left(1\sqrt{9}\right)}^2}{9}$?

На рисунке изображён график функции y = $\mathrm{h(x)}$. Сколько точек среди  x₀, x₁, x₂ имеют положительное значение производной функции?

Тележки из супермаркета массой по 37.5 кг каждая, столкнулись на скорости 3.6 м/с под углом 2α и выработали энергию 486.0 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

На ферме два насоса работают с цистернами. Первый насос опустошает цистерну объёмом 1200 литров на 5 часов медленнее, чем второй, так как он пропускает на 40 литров топлива в час меньше. Какова скорость работы первого насоса?

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=16$.

Найдите максимум функции $8\cdot \sin \left(x\right)-\frac{14}{\pi }\cdot x-8$ на интервале $[\frac{\pi }{2}-2\cdot \pi ;10\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin (2\cdot x)-2\cdot \sin (60°)\cdot \cos \left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-6\cdot \pi ;\frac{-14\cdot \pi }{3}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $B{B}_1$ = 7, $AB$ = 16.

Решите неравенство $$ \frac{98-{98}^x-{14}^x+7^{x+1}}{-26\cdot x+x^2}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 20%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наименьшую сумму кредита, чтобы общая выплата была больше 39 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=6$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 10 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-9\cdot x^2+16\cdot a^2}=x^2+3\cdot x-4\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 369?
2) Может ли сумма быть равна 450 + 1/2?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 3-значных исходных чисел?