Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 27 Ноября

Дан треугольник $AQK$ с прямым углом $A$ и сторонами $\mathrm{QK\; =\; 50}$ и $\mathrm{AK\; =\; 30}$. Найдите $\mathrm{cosQ}$.

Векторы $\overrightarrow{a}(22;-18)$ и $\overrightarrow{b}(-12;-17)$ заданы компонентами. Найдите их скалярное произведение.

Цилиндр и конус одинаковы по высоте и имеют общее основание. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5\cdot \sqrt{18}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Чемпионат по лыжам собрал 30 спортсменов, среди которых 1 представляют Новую Зеландию, 11 — Францию, и остальные спортсмены — Швейцарию. Порядок выступления спортсменов определяется жребием. Какова вероятность того, что спортсмен, выступающий первым будет из Швейцарии?

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется больше 45 пассажиров, равна 0.79. Вероятность того, что окажется больше 28 пассажиров, равна 0.47. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 29 до 45.

Решите уравнение: ${''(''\frac{9}{18}'')''}^{2\cdot \mathrm{x\; -\; 10}}=64$.

Вычислите значение для $\frac{{\left({343}^{10}\right)}^{-3}}{{\left(7^{10}\right)}^{-9}}$

На графике показан график y = $\mathrm{p\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{p(x)}$ на интервале (-6; 4). Найдите точку на отрезке [-5; 3], где функция $\mathrm{p(x)}$ достигает наименьшего значения.

Футболисты ударили два одинаковых мяча массой по 0.6 кг каждый со скоростью 22 м/с под углом 2α, и они выработали энергию 217.8 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

На нефтяной платформе две скважины качают нефть. Вторая скважина заполняет резервуар объёмом 3300 литров на 16 часов быстрее, чем первая, так как она пропускает на 20 литров нефти в час больше. За сколько часов первая скважина заполняет резервуар?

График функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ изображен на рисунке. Рассчитайте $f\left(4\right)$.

Найдите минимум функции $\sin \left(x\right)+\frac{10}{\pi }\cdot x+8$ на интервале $[\frac{\pi }{2}-2\cdot \pi ;4\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-\cos (\frac{\pi }{2}+2\cdot x)+2\cdot \sin (-60°)\cdot \cos (x+\pi )=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{11\cdot \pi }{3};5\cdot \pi ]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BC{C}_1{B}_1$, если $B{B}_1$ = 6, $DA$ = 9.

Решите неравенство $$ \frac{8^{x+1}+{48}^x+6^{x+1}+48}{22\cdot x+x^2}$\ge 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=6$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$15\cdot x>x^2+a^2$ $5\cdot a>=x$ $x+a>=26$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;9]$.

Есть три коробки. В одной из них 58 камней, в другой — 94, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 74 камней, во второй — 78, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 152 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?