Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 06 Апреля

Дан треугольник $AQK$ с прямым углом $A$ и сторонами $\mathrm{QK\; =\; 50}$ и $\mathrm{AK\; =\; 30}$. Найдите $\mathrm{cosQ}$.

Векторы $\overrightarrow{a}(9;-10)$ и $\overrightarrow{b}(-8;-17)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

Найдите объём многогранника, образованного вершинами $P_1$, $Q_1$, $R_1$, $P$ правильной треугольной призмы $P$$Q$$R$$P_1$$Q_1$$R_1$, при площади основания $9$ и боковом ребре $45$.

Вероятность того, что спортсмен забьет больше 11 голов, равна 0.86. Вероятность того, что он забьет больше 10 голов, равна 0.94. Найдите вероятность того, что спортсмен забьет ровно 11 голов.

По результатам двукратного броска игральной кости в сумме выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 4 очка?

Решите уравнение: $\sqrt{38-13\cdot x}=5$.

Каков результат выражения $-44\cdot {\log }_{\frac{{13}^{\frac{-77}{14}}}{}}\left(13\right)$?

На графике представлена функция y = $\mathrm{g(x)}$. Определите количество точек из  x₀, x₁, где значение производной функции является отрицательным.

Микроскоп использует линзу с фокусным расстоянием 15 см для получения четкого изображения образца. Расстояние $d_1$ от образца до линзы можно изменять в пределах от 3 см до 20 см, а расстояние $d_2$ от линзы до окуляра — от 80 см до 90 см. Изображение будет четким, если выполняется условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком минимальном расстоянии от линзы должен быть расположен образец, чтобы изображение было четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Моторная лодка прошла против течения реки 144 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Определите скорость лодки, если скорость течения равна 4 км/ч.

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=a^x+b$. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=2$.

Найдите максимум функции $6\cdot \cos \left(x\right)-\frac{10}{\pi }\cdot x-3$ на интервале $[-10\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+4\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot {\cos }^2\left(x\right)\cdot \sin (-30°)+\sin \left(x\right)+\sin \left(x\right)\cdot (1-2\cdot {\sin }^2(x\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[5\cdot \pi ;\frac{41\cdot \pi }{6}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=12$ см, ${\mathrm{CC}}_1=24\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{38}^x-38-{19}^{x+1}+2^x}{25\cdot x+x^2}$\le 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ADB}=\mathrm{\angle MBD}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{39}$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$1\cdot a<=x$ $x+a<=15$ $17\cdot x<x^2+a^2$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[2;3]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 118?
2) Может ли сумма быть равна 899?
3) Какое самое большое значение может принимать дробное S для 2-значных исходных чисел?