Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 17 Марта

Центральный угол на $\mathrm{57°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Определите длину вектора $1\overrightarrow{a}+1\overrightarrow{b}$, если координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ заданы.

В конус вписан шар с таким же радиусом основания. Известно, что объем шара равен 22. Чему равен объем конуса?

Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность, что решка выпадет ровно 3 раза?

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 16 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Определите значение x для уравнения ${(x-20)}^2=9$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Рассчитайте результат для выражения $4\cdot \frac{\cos (23°)\cdot \sin (23°)}{\sin (46°)}$

На рисунке изображён график y = $\mathrm{n\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{n(x)}$, определённой на интервале (-7; 7). В какой точке отрезка [-6; 6] функция $\mathrm{n(x)}$ принимает наименьшее значение?

Футболисты ударили два одинаковых мяча массой по 0.5 кг каждый со скоростью 18.4 м/с под углом 2α, и они выработали энергию 126.96 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

Две трубы спукают воду из бассейна. Первая труба опустошает бассейн объёмом 850 литров на 25 часов медленнее, чем вторая, пропуская на 17 литров воды в час меньше. За сколько часов первый насос опустошит бассейн?

График функции $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$ изображен на рисунке. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=16$.

Найдите точку минимума функции $y=5\cdot x^3+16\cdot x^2-17\cdot x-10$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${2401}^{\sin \left(x\right)}-56\cdot {49}^{\sin \left(x\right)}+343=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-5\cdot \pi }{2};-1\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=14$ см, ${\mathrm{CC}}_1=14\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{5^x-30-6^{x+1}+{30}^x}{x^2-1\cdot x-90}$\ge 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{135°}$, $B_1{C}_1=4$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 7 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$15\cdot x<x^2+a^2$ $3\cdot a>=x$ $x+a>=24$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;15]$.

Есть три коробки. В одной из них 56 камней, в другой — 110, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 56 камней, во второй — 92, а в третьей — 18?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 166 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?