Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 13 Января

Центральный угол на $\mathrm{65°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(-3;28)$ и $\overrightarrow{b}(6;1)$.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его высота увеличится в 10 раз, а остальные характеристики останутся прежними.

На конференции присутствует 175 участников, которых распределили по 5 рядам. В первые 4 ряда разместили по 35 человек, а остальные оказались в последнем ряду. Какова вероятность того, что случайно выбранный участник сидел в последнем ряду?

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 14 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Найдите корень уравнения: ${''(''\frac{21}{42}'')''}^{7\cdot \mathrm{x\; -\; 6}}=64$.

Рассчитайте результат для выражения $15\cdot \frac{\cos (13°)\cdot \sin (13°)}{\sin (26°)}$

На графике показан график y = $\mathrm{k\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{k(x)}$ на интервале (-7; 4). Найдите точку на отрезке [-6; 3], где функция $\mathrm{k(x)}$ достигает наибольшего значения.

Летящий орел начал замедляться со скоростью 22.0 м/с и с ускорением 4.5 м/с² и пролетел 52 метра за t секунд после начала замедления. Найдите время замедления, используя формулу $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$.

Два насоса накачивают шину. Первый насос накачивает шину объёмом 224 литра на 2 минуты медленнее, чем второй, так как он пропускает на 56 литров воздуха в минуту меньше. За сколько минут первый насос накачает шину?

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)=k\cdot x$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=2$.

Найдите минимум функции $-2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x+11$ на интервале $[\frac{\pi }{2}-6\cdot \pi ;\frac{5\cdot \pi }{6}+8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-\cos (\frac{\pi }{2}+2\cdot x)-\sqrt{3}\cdot (1-2\cdot {\cos }^2(\frac{x}{2}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-26\cdot \pi }{3};\frac{-23\cdot \pi }{3}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $ABCD$, если $D{D}_1$ = 19, $DA$ = 4.

Решите неравенство $$ \frac{100-{20}^{x+1}-5^{x+1}+{100}^x}{x^2+25\cdot x}$\le 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 8 лет с ежегодным увеличением долга на 10%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3, 4, 5, 6 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наименьший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не меньше 69 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{120°}$, $B_1{C}_1=9$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 5 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$12\cdot x>x^2+a^2$ $5\cdot a>=x$ $x+a>=21$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[6;20]$.

Есть три коробки. В одной из них 111 камней, в другой — 98, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 97 камней, во второй — 112, а в третьей — 0?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 209 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?