Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 09 Октября

В треугольнике $INW$, угол $I$ равен 90°, $\mathrm{NW\; =\; 50}$, $\mathrm{IW\; =\; 14}$. Найдите $\mathrm{cosN}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-20;13)$ и $\overrightarrow{b}''(-11;\; -16)''$. Найдите их скалярное произведение.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его радиус основания уменьшится в 5 раз, а остальные размеры не изменятся.

Вероятность того, что спортсмен забьет больше 8 голов, равна 0.82. Вероятность того, что он забьет меньше 10 голов, равна 0.95. Найдите вероятность того, что спортсмен забьет ровно 9 голов.

В торговом центре ожидается определенное количество покупателей за день. Вероятность того, что придет меньше 22 покупателей, равна 0.9. Вероятность того, что придет больше 15 покупателей, равна 0.49. Найдите вероятность того, что количество покупателей будет от 16 до 21.

Найдите корень уравнения: ${''(''\frac{8}{32}'')''}^{4\cdot \mathrm{x\; +\; 1}}=64$.

Найдите значение выражения $\frac{{\left(6^8\right)}^{-2}}{{\left({216}^3\right)}^{-2}}$

На графике показана функция y = $\mathrm{n(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, в которых значение производной функции отрицательно.

Тележки из супермаркета массой по 36.6 кг каждая, столкнулись на скорости 2 м/с под углом 2α и выработали энергию 36.6 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

Орел летел против ветра на 1680 км, а затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 14 часов меньше. Определите скорость орла, если скорость ветра равна 2 км/ч.

Функция имеет вид $f\left(x\right)=a^x+b$, а её график приведен на рисунке. Найдите результат функции $f\left(x\right)$ при $x=2$.

Найдите точку минимума функции $y=3\cdot x^3-10\cdot x^2-4\cdot x-20$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $-2\cdot \sin (45°)\cdot \left({\sin }^2\right(x)-1)+2\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)-(2\cdot {\cos }^2(x)-1)\cdot (4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3})-3\cdot \sin (\frac{x}{3}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-7\cdot \pi ;\frac{-23\cdot \pi }{4}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=8$ см, ${\mathrm{CC}}_1=8\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{15}^x-30-2^{x+1}+{30}^x}{23\cdot x+x^2}$\ge 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 5 лет с ежегодным увеличением долга на 20%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наибольший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не превышает 22 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{120°}$, $B_1{C}_1=4$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 9 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-25\cdot x^2+64\cdot a^2}=x^2+5\cdot x-8\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Есть три коробки. В одной из них 126 камней, в другой — 122, а в третьей — 0. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 126 камней, во второй — 85, а в третьей — 37?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 248 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в третьей коробке?