Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 22 Ноября

В окружности с центром в точке $C$ отрезки $\mathrm{OK}$ и $\mathrm{RA}$ являются диаметрами. Угол $\mathrm{OKR}$ равен $\mathrm{31°}$. Найдите угол $\mathrm{OCA}$. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(-70;24)$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известно, что $CD=1$, $AD=3$, $D{D}_1=8$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ и $A$.

На заводе собирают 125 холодильников за месяц, из которых 6 холодильников имеют дефекты в компрессоре. Какова вероятность того, что случайно выбранный холодильник будет без дефектов?

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка?

Найдите корень уравнения ${\log }_4(3-x)={\log }_{\frac{1}{4}}\left(10\right)$

Рассчитайте результат для выражения $\frac{{\left(7\sqrt{3}\right)}^2}{21}$

На рисунке показан график y = $\mathrm{f\text{'}(x)}$, представляющий производную функции $\mathrm{f(x)}$ на интервале (-8; 8). В какой точке отрезка [-7; 7] функция $\mathrm{f(x)}$ достигает наименьшего значения?

Микроскоп использует линзу с фокусным расстоянием 15 см для получения четкого изображения образца. Расстояние $d_1$ от образца до линзы можно изменять в пределах от 3 см до 20 см, а расстояние $d_2$ от линзы до окуляра — от 80 см до 90 см. Изображение будет четким, если выполняется условие $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. На каком минимальном расстоянии от линзы должен быть расположен образец, чтобы изображение было четким? Ответ дайте в сантиметрах.

В городе открыли автозаправку с несколькими колонками. Вторая колонка заправляет машину с баком объёмом 80 литров на 4 минуты быстрее, чем первая, так как она пропускает на 10 литров топлива в минуту больше. Какова скорость работы первой колонки?

Функция имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot x^2+c$, а её график приведен на рисунке. Рассчитайте $f\left(3\right)$.

Найдите максимум функции $5\cdot \sqrt{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{12}{\pi }\cdot x-13$ на интервале $[\frac{\pi }{4}-8\cdot \pi ;2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \sin (-30°)\cdot {\cos }^2\left(x\right)-\sin \left(x\right)\cdot (1-2\cdot {\cos }^2(x\left)\right)-(4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3})-3\cdot \sin (\frac{x}{3}\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7\cdot \pi }{2};\frac{14\cdot \pi }{3}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BC{C}_1$, если $D{D}_1$ = 3, $DA$ = 20.

Решите неравенство $$ \frac{{14}^x-308-{22}^{x+1}+{308}^x}{x^2-21\cdot x}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 6 лет. Каждый год долг возрастает на 10%. В 1, 2, 3, 4 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 91 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABM}=\mathrm{\angle CAD}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{33}$.

Определите значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-100\cdot x^2+9\cdot a^2}=x^2+10\cdot x-3\cdot a$ обладает ровно $3$ решениями.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 251?
2) Может ли сумма быть равна 130?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 4-значных исходных чисел?