Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 28 Октября

В прямоугольном треугольнике $ECQ$, где угол $E$ равен 90°, $\mathrm{CQ\; =\; 50}$, а $\mathrm{EQ\; =\; 48}$. Найдите $\mathrm{cosC}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $-1\overrightarrow{a}-1\overrightarrow{b}.$

Шар вписан в конус. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 34. Найдите объем конуса.

В чемпионате по биатлону участвуют 140 спортсменов: 5 из Южной Кореи, 51 из Норвегии, остальные — из Египта. Порядок, в котором выступают спортсмены, выбирается случайным образом при помощи жребия. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Египта.

Производится контроль рабочего времени. Вероятность того, что количество рабочих часов окажется больше 1932, равна 0.94. Вероятность того, что количество рабочих часов окажется больше 1958, равна 0.71. Найдите вероятность того, что время работы больше 1932 ч. но меньше 1958 ч., если в данной задаче время считается непрерывной величиной.

Найдите корень уравнения ${(x-2)}^2=9$. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

Каков результат выражения $\frac{{\left(2^2\right)}^{-10}}{{\left({128}^3\right)}^{-1}}$?

На рисунке показан график функции y = $\mathrm{p(x)}$. Среди точек  x₀, x₁, x₂, x₃, сколько таких, в которых значение производной отрицательно?

Катер, двигаясь по реке со скоростью 16.0 м/с, начал снижать скорость с ускорением 2.4 м/с². За t секунд с момента начала снижения скорости он прошел 50 метров. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

Рыба плыла по течению на расстояние 304 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 19 часов больше. Определите скорость течения, если скорость рыбы в неподвижной воде равна 12 км/ч.

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)=a\cdot x^2+c$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=2$.

Найдите точку максимума функции $y=1\cdot x^3+7\cdot x^2-5\cdot x+6$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${6561}^{\sin \left(x\right)}-90\cdot {81}^{\sin \left(x\right)}+729=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\cdot \pi }{2};\frac{7\cdot \pi }{2}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=12$ см, ${\mathrm{CC}}_1=12\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{21+{21}^x+7^{x+1}+3^{x+1}}{x^2+5\cdot x+4}$\ge 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 7 лет. Каждый год долг возрастает на 30%. В 1, 2, 3, 4, 5 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 20 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{45°}$, $B_1{C}_1=7$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 6 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$20\cdot x<x^2+a^2$ $4\cdot a<=x$ $x+a<=19$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[5;13]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 156?
2) Может ли сумма быть равна 612?
3) Какое самое большое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?