Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 18 Февраля

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Определите длину вектора $5\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$, если координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ заданы.

Шар с объемом $37$ вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Монету бросили 4 раза. Какова вероятность выпадения орла ровно 2 раза?

Вероятность того, что температура воздуха в помещении станет выше чем 20.3℃, равна 0.94. Какова вероятность того, что температура в помещении будет ниже 20.3℃?

Определите значение x для уравнения: ${''(''\frac{3}{6}'')''}^{6\cdot \mathrm{x\; +\; 1}}=32$.

Какое значение принимает выражение $\frac{{12}^{6.8}\cdot 4^{2.8}}{{48}^{3.8}}$?

На рисунке показан график функции y = $\mathrm{n(x)}$. Среди точек  x₀, x₁, x₂, сколько таких, в которых значение производной положительно?

Линза микроскопа имеет фокусное расстояние 24 см. Образец можно разместить на расстоянии $d_1$ от линзы в пределах от 10 см до 40 см, а окуляр расположен на расстоянии $d_2$ в пределах от 80 см до 96 см. Изображение будет четким, если выполняется формула $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком минимальном расстоянии от линзы изображение образца будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Вертолет пролетел против ветра 16560 км, а затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 12 часов меньше. Определите скорость вертолета, если скорость ветра равна 23 км/ч.

Функция имеет вид $f\left(x\right)=k\cdot x+b$, а её график приведен на рисунке. Рассчитайте $f\left(2\right)$.

Найдите минимум функции $5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{14}{\pi }\cdot x+3$ на интервале $[-8\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+10\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\cos (\frac{\pi }{2}-2\cdot x)-\sqrt{3}\cdot \cos \left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{13\cdot \pi }{3};6\cdot \pi ]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $BMDN$, если $A{A}_1$ = 6, $BC$ = 4.

Решите неравенство $$ \frac{91-{91}^x-7^x+{13}^{x+1}}{x^2-6\cdot x}$\le 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=7$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-4\cdot x^2+49\cdot a^2}=x^2+2\cdot x-7\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Есть три коробки. В одной из них 122 камней, в другой — 0, а в третьей — 94. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 88 камней, во второй — 0, а в третьей — 128?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 216 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?