Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 06 Октября

В окружности с центром в точке $C$ отрезки $\mathrm{OK}$ и $\mathrm{RA}$ являются диаметрами. Угол $\mathrm{OKR}$ равен $\mathrm{31°}$. Найдите угол $\mathrm{OCA}$. Ответ дайте в градусах.

Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ заданы своими координатами. Найдите длину вектора $-4\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

Определите объём многогранника с вершинами $P$, $Q$, $R$, $R_1$ правильной треугольной призмы $P$$Q$$R$$P_1$$Q_1$$R_1$, если площадь основания равна $17$, а боковое ребро равно $63$.

В чемпионате по регби участвуют 125 спортсменов: 17 из Швейцарии, 24 из Нидерландов, остальные — из Бразилии. Порядок, в котором выступают спортсмены, выбирается случайным образом при помощи жребия. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.

На научной конференции ожидается определенное количество участников. Вероятность того, что придет больше 28 участников, равна 0.58. Вероятность того, что придет больше 20 участников, равна 0.57. Найдите вероятность того, что количество участников будет от 21 до 28.

Решите уравнение ${\log }_2(x-5)={\log }_2\left(8\right)$

Рассчитайте результат для выражения ${\log }_{\frac{2^2}{}}\left(4\right)$

На графике показана функция y = $\mathrm{f(x)}$. Найдите точку на оси абсцисс из -2, -1, 0, 1, 4, 5, в которой значение производной функции будет наименьшим.

Леопард, двигаясь по саванне с начальной скоростью 33.6 м/с, начал замедляться с ускорением 6.3 м/с². За t секунд после начала замедления он преодолел 84 метра. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

Орел летел против ветра на 1680 км, а затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 14 часов меньше. Определите скорость орла, если скорость ветра равна 2 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)$. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=16$.

Найдите минимум функции $-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{12}{\pi }\cdot x-10$ на интервале $[\frac{2\cdot \pi }{3}-6\cdot \pi ;\pi +4\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot {\cos }^2\left(x\right)\cdot \cos (135°)+\sin \left(x\right)-2\cdot (2\cdot {\sin }^2(x)-1)\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-37\cdot \pi }{4};\frac{-29\cdot \pi }{4}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BC{C}_1$, если $A{A}_1$ = 17, $AB$ = 19.

Решите неравенство $$ \frac{39-{39}^x-{13}^x+3^{x+1}}{x^2-4\cdot x}$\le 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=7$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 10 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-16\cdot x^2+16\cdot a^2}=x^2+4\cdot x-4\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 423?
2) Может ли сумма быть равна 538 + 13/18?
3) Какое самое большое значение может принимать целое S для 2-значных исходных чисел?