Обход графа в ширину и в глубину

Обход графа — это процесс посещения всех вершин графа в определенном порядке. Существует два основных метода обхода графа: обход в ширину (BFS) и обход в глубину (DFS). Оба метода имеют свои особенности, применения и алгоритмические реализации.

Обход в ширину (BFS)

Определение

Обход в ширину — это алгоритм, который посещает вершины графа, начиная с заданной начальной вершины, и последовательно исследует все соседние вершины, прежде чем переходить к вершинам следующего уровня.

Алгоритм

1. Инициализировать очередь и добавить в нее начальную вершину.
2. Пометить начальную вершину как посещенную.
3. Пока очередь не пуста:
   • Извлечь вершину из очереди.
   • Обойти всех её соседей:

• Если сосед еще не посещен, пометить его как посещенный и добавить в очередь.

Сложность

• Временная сложность: $O(V+E)O(V\; +\; E)$, где $VV$ — количество вершин, $EE$ — количество рёбер.
• Пространственная сложность: $O(V)O(V)$ для хранения очереди.

Применение

• Поиск кратчайшего пути в неориентированных графах.
• Поиск в ширину используется в социальных сетях, для анализа связей между пользователями.
• Решение задач, связанных с уровнями (например, в играх).

Обход в глубину (DFS)

Определение

Обход в глубину — это алгоритм, который исследует как можно глубже каждую ветвь графа, прежде чем вернуться назад и исследовать другие ветви.

Алгоритм

1. Инициализировать стек (или использовать рекурсию).
2. Добавить в стек начальную вершину и пометить её как посещенную.
3. Пока стек не пуст:
   • Извлечь вершину из стека.
   • Обойти всех её соседей:

• Если сосед еще не посещен, пометить его как посещенный и добавить в стек.

Сложность

• Временная сложность: $O(V+E)O(V\; +\; E)$.
• Пространственная сложность: $O(V)O(V)$ для хранения стека (или $O(h)O(h)$, где $hh$ — максимальная глубина рекурсии).

Применение

• Поиск всех возможных путей в графе.
• Решение задач, связанных с топологической сортировкой.
• Используется в алгоритмах для нахождения компонент связности.

Сравнение BFS и DFS

Заключение

Обход графа в ширину и в глубину являются основными методами для исследования графовых структур. Выбор между BFS и DFS зависит от конкретной задачи. BFS лучше подходит для поиска кратчайших путей, в то время как DFS используется для более глубокого анализа структуры графа. Оба метода являются основой для разработки более сложных алгоритмов и приложений, связанных с графами.