Информатика Кодирование и обработка информации

Двоичная система

Двоичная система — это числовая система, основанная на двух символах: 0 и 1. Она является основой для работы современных компьютеров и цифровых систем, так как позволяет эффективно представлять и обрабатывать данные.

Введение в двоичную систему

Определение

  • Двоичная система (или двоичная нотация) — это система счисления с основанием 2, в которой используются только два символа: 0 и 1.

История

  • Двоичная система была впервые описана в древнем Китае и Индии, но ее широкое применение началось с развитием цифровых технологий в 20 веке.

Основные понятия

Биты и байты

  • Бит — наименьшая единица информации в двоичной системе, может принимать значение 0 или 1.
  • Байт — группа из 8 бит, используется для представления символов, чисел и других данных.

Представление чисел

  • Двоичные числа представляются как последовательности битов. Например, число 5 в двоичной системе записывается как 101.

Преобразование между системами счисления

Двоичная в десятичная

  • Для преобразования двоичного числа в десятичное необходимо суммировать произведения каждого бита на соответствующую степень двойки:
N=bn⋅2n+bn−1⋅2n−1+...+b1⋅21+b0⋅20N = b_n \cdot 2^n + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + ... + b_1 \cdot 2^1 + b_0 \cdot 2^0

Например, для числа 101 (двоичное):

1⋅22+0⋅21+1⋅20=4+0+1=51 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5

Десятичная в двоичная

  • Для преобразования десятичного числа в двоичное необходимо делить число на 2 и записывать остатки:

    • 5 ÷ 2 = 2, остаток 1
    • 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
    • 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

    Чтение остатков в обратном порядке дает 101.

Операции с двоичными числами

Сложение

Сложение двоичных чисел происходит по тем же правилам, что и в десятичной системе, с учетом переноса.

Пример:

    101
  + 110
  ------
   1011

Вычитание

Вычитание двоичных чисел осуществляется с учетом заемов. Принципы аналогичны вычитанию в десятичной системе.

Правила:

  • 0 - 0 = 0
  • 1 - 0 = 1
  • 1 - 1 = 0
  • 0 - 1 требует заимствования (заем).

Пример: Вычтем 101 (5 в десятичной) из 1101 (13 в десятичной):

   1101
 -  0101
 --------
  1. Начнем с младших разрядов:
    • 1 - 1 = 0 (единицы)
    • 0 - 0 = 0 (двойки)
    • 1 - 1 = 0 (четверки)
    • 1 - 0 = 1 (восьмерки)

Результат:

   1101
 -  0101
 --------
   1000

(Результат: 1000, что соответствует 8 в десятичной системе)

Умножение

Умножение двоичных чисел выполняется по принципу, аналогичному умножению в десятичной системе, с учетом двоичных операций.

Правила:

  • Умножение на 0 всегда дает 0.
  • Умножение на 1 возвращает само число.

Пример: Умножим 101 (5 в десятичной) на 11 (3 в десятичной):

      101
    x  011
    -------
      101   (это 101 умноженное на 1)
 +  0000   (это 101 умноженное на 0, сдвинуто на один разряд влево)
 ---------
    1111

Результат:

    1111

(Результат: 1111, что соответствует 15 в десятичной системе)

Деление

Деление двоичных чисел выполняется аналогично делению в десятичной системе, с использованием деления с остатком.

Пример: Разделим 1100 (12 в десятичной) на 11 (3 в десятичной):

    110 (это 4 в десятичной)
   ______
11 | 1100
    - 11
   ------
      10
     - 00
   ------
      100
     - 11
   ------
       1

Результат:

    110

(Результат: 110, что соответствует 4 в десятичной системе, остаток 1)

Применение двоичной системы

В вычислительной технике

  • Двоичная система является основой работы компьютеров, так как транзисторы могут находиться в одном из двух состояний (включен/выключен).

В программировании

  • Двоичные числа используются для представления данных, адресов и команд в машинном коде.

В цифровой электронике

  • Применяется в логических схемах и устройствах, таких как микропроцессоры и микроконтроллеры.

Заключение

Двоичная система является ключевым элементом современных вычислительных технологий. Понимание принципов работы с двоичными числами и их преобразования в другие системы счисления, а также операций сложения, вычитания, умножения и деления, является важным для программистов, инженеров и всех, кто работает с цифровыми устройствами.

Представление текстовой информации