Законы сохранения в механике (энергия, импульс)

Основные понятия

В механике два фундаментальных закона сохранения, с которыми работают при решении большинства задач — это закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Эти законы применимы к замкнутым системам частиц или тел и выражают глубокие симметрии природы: инвариантность при параллельным сдвигом координат и при сдвиге по времени.

Импульс - вещевая или векторная величина, определяемая как произведение массы тела на его скорость, $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$.

Кинетическая энергия - скалярная мера механической энергии движения тела, равная половине произведения массы на квадрат скорости, $\displaystyle K=\tfrac{1}{2}mv^{2}$.

В дальнейшем в тексте мы будем оперировать понятиями силы, работы, энергии и импульса, абсолютно очевидные в быту представления которых формализуются и получают точные математические выражения. Все формулы вынесены в отдельный список и в тексте обозначаются плейсхолдерами вида {FORMULA_N}.

Импульс и его сохранение

Импульс тела связывается с действующей на него силой через второй закон Ньютона в общем виде: скорость изменения импульса тела равна сумме сил, действующих на тело, $\displaystyle \mathbf{F}=\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}$. Это выражение является определяющим для вывода закона сохранения импульса.

Если на замкнутую систему тел суммарная внешняя сила равна нулю, тогда скорость изменения суммарного импульса системы равна нулю, что формулируется как закон сохранения импульса системы, $\displaystyle \dfrac{d\mathbf{p}_{\text{tot}}}{dt}=0$. Это означает, что вектор суммарного импульса остаётся постоянным во времени независимо от внутренних взаимодействий.

Замкнутая система - система тел, на которую не действуют внешние силы, либо их результирующая равна нулю. В такой системе справедлив закон сохранения импульса.

Упругие и неупругие соударения

Соударения разделяют по тому, сохраняется ли при них кинетическая энергия механической системы. В упругом соударении дополнительно к закону сохранения импульса выполняется закон сохранения кинетической энергии, что даёт две независимые уравнения для неизвестных скоростей после столкновения: $\displaystyle m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2}=m_{1}\mathbf{v}_{1}''+m_{2}\mathbf{v}_{2}''$ и $\displaystyle \tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}''^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}''^{2}$.

Решение системы уравнений для одномерного упругого соударения двух тел даёт явные формулы для скоростей после столкновения, которые зависят от масс и начальных скоростей. Для первой массы формула выглядит как $\displaystyle v_{1}''=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}+\dfrac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}$, а для второй массы — $\displaystyle v_{2}''=\dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}+\dfrac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}$.

В полностью неупругом соударении тела слипаются и движутся дальше совместно. Тогда сохраняется только суммарный импульс; итоговая скорость связана с начальными через выражение $\displaystyle v_{f}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$. Кинетическая энергия при этом уменьшается и превращается в тепловую энергию, деформации и другие формы внутренней энергии.

Работа, сила и теорема о кинетической энергии

Работа силы определяется как скалярный интеграл вдоль траектории по перемещению, математически это выражается через интеграл от скалярного произведения силы и приращения координаты, $\displaystyle W=\int\!\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$.

Теорема о кинетической энергии показывает связь между работой суммарной силы, совершённой над телом, и изменением его кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил, действующих на тело, $\displaystyle \Delta K=W_{\text{net}}$. Эта теорема является мощным инструментом при решении задач, где удобно учитывать работу сил вместо прямого интегрирования уравнений движения.

Потенциальная энергия и консервативные силы

Сила называется консервативной, если работа этой силы вдоль пути зависит только от начального и конечного положения, а не от траектории. Для таких сил удобно ввести потенциальную энергию — скалярную функцию координат, изменение которой равно отрицательной работе силы при перемещении.

Типичные примеры потенциальной энергии: потенциальная энергия в поле тяжести рядом с поверхностью Земли и потенциальная энергия упругой деформации пружины. Для гравитационной потенциальной энергии используют выражение $\displaystyle U=mgh$, а для энергии сжатия или растяжения упругой пружины — $\displaystyle U=\tfrac{1}{2}kx^{2}$.

Потенциальная энергия - скалярная величина, характеризующая запасённую энергию системы, связанную с взаимным расположением тел и зависящая от их координат.

Закон сохранения механической энергии

Для замкнутой системы, на которую действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной во времени. Это формулируется как закон сохранения механической энергии: $\displaystyle K+U=\text{const}$.

На практике это означает, что при движении тела между различными состояниями одна форма механической энергии может превращаться в другую, но их сумма остаётся неизменной. Это удобно наглядно представлять диаграммами энергии, где по вертикали измеряют суммарную энергию, а по горизонтали — координату или положение системы. (см. {IMAGE_0})

Центр масс и движение системы

Для системы частиц удобно вводить понятие центра масс. Положение центра масс определяется как взвешенное среднее положений частиц системы: $\displaystyle \mathbf{R}_{\text{cm}}=\dfrac{\sum_{i}m_{i}\mathbf{r}_{i}}{M}$.

Движение центра масс описывается уравнениями, аналогичными уравнениям для одной частицы: суммарный импульс системы равен массе всей системы, умноженной на скорость центра масс, и эволюция этой величины подчиняется внешним силам, то есть суммарный импульс равен произведению полной массы на скорость центра масс, $\displaystyle \mathbf{p}_{\text{tot}}=M\mathbf{V}_{\text{cm}}$. Если внешняя сила отсутствует, центр масс движется равномерно и прямолинейно.

Приёмы решения задач и практические советы

При решении задач сначала следует чётко выделить систему тел, определить, замкнута она или нет, и какие силы действуют внешние. Если внешние силы равны нулю или их результирующая равна нулю на интересующем отрезке времени, используется закон сохранения импульса $\displaystyle \dfrac{d\mathbf{p}_{\text{tot}}}{dt}=0$.

Если в задаче задействованы консервативные силы и отсутствуют затухания, полезно применять закон сохранения механической энергии $\displaystyle K+U=\text{const}$. В комбинированных задачах можно использовать одновременно оба закона — сначала сохранение импульса для расчёта скоростей, затем энергию для расчёта высот, амплитуд колебаний и т.д.

Наконец, важно проверять размерности полученных выражений и предельные случаи (например, при малой массе одного из тел или при нулевой относительной скорости), чтобы убедиться в физической осмысленности результата.