Закон сохранения заряда

Формулировка закона и его смысл

Закон сохранения заряда — фундаментальный принцип электродинамики, утверждающий, что суммарный электрический заряд в замкнутой системе не меняется со временем при отсутствии внешних взаимодействий. Это означает, что заряд не появляется и не исчезает спонтанно; он может перераспределяться между объектами, но общая величина остаётся постоянной. В математической форме это часто записывают как равенство постоянной суммы зарядов:

$Q_{\mathrm{tot}}=\mathrm{const}$

Заряд - физическая скалярная величина, характеризующая способность тел взаимодействовать электромагнитно; измеряется в кулонах.

Микроскопическое представление: плотность заряда и элементарные носители

Плотность заряда - скалярная функция \rho(\mathbf{r},t), показывающая величину заряда в единице объёма в точке с радиус-вектором \mathbf{r} в момент времени t.

Микроскопически заряд квантуется: основным блоком отрицательного заряда является электрон с зарядом, по модулю равным $e=1.602176634\times10^{-19}\ \mathrm{C}$. Носители заряда в проводниках — электроны, в ионных растворах — ионы. Несмотря на квантование, для макроскопических тел часто удобно пользоваться непрерывной плотностью заряда и соответствующими интегральными соотношениями.

Связь между плотностью заряда и полным зарядом в объёме V выражается через интеграл по объёму:

$Q=\displaystyle\int_{V}\rho(\mathbf{r},t)\,dV$

Уравнение непрерывности и локальная запись закона сохранения

Закон сохранения заряда можно записать в дифференциальной форме, связывающей изменение плотности заряда со дивергенцией плотности тока. Это уравнение показывает, что уменьшение заряда в элементарном объёме должно сопровождаться оттоком тока через его поверхность. Математически это выражается через уравнение непрерывности:

$\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0$

Интуитивно: если в некоторой области плотность заряда убывает, то через её границу должен выходить поток положительного заряда (или входить поток отрицательного). Уравнение непрерывности — локальная форма глобального закона сохранения, применимая к произвольным точкам пространства и временам.

Интегральная форма уравнения непрерывности связывает поток тока через замкнутую поверхность S и скорость изменения заряда внутри объёма V, ограниченного этой поверхностью:

$\displaystyle\oint_{S}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=-\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV$

Ток, его связь с зарядом и законы Кирхгофа

Электрический ток - количество электрического заряда, проходящее через поперечное сечение проводника в единицу времени; измеряется в амперах (Кл/с).

Средняя величина тока через сечение определяется как производная суммарного заряда по времени. Эта базовая связь позволяет переходить от макроскопического представления о заряде к описанию токов в цепи:

$I=\dfrac{dQ}{dt}$

На основе закона сохранения заряда и уравнения непрерывности вытекает узловой закон Кирхгофа, формулируемый так: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю, что следует из того, что заряд не накапливается в идеальном узле:

$\sum_{k}I_{k}=0$

Применения и экспериментальные подтверждения

Закон сохранения заряда лежит в основе анализа электрических цепей, электростатики и электродинамики. Он применяется при выводе уравнений Максвелла, при расчёте распределения зарядов на проводниках и при анализе процессов разряда и накопления заряда в конденсаторах и аккумуляторах.

Экспериментально закон подтверждается в широком диапазоне масштабов: от электроники до космических плазм. Одним из простых экспериментальных проявлений является зарядка конденсатора в замкнутой системе: если одна пластина получает заряд +Q, другая приобретает заряд -Q, так что суммарный заряд остаётся неизменным:

$Q_{1}+Q_{2}=0$

Современные прецизионные измерения подтверждают, что закон сохранения заряда соблюдается с очень высокой точностью. В теоретических моделях нарушение закона потребовало бы введения новых источников/стоков заряда или модификаций фундаментальных уравнений электродинамики.

Практические замечания и распространённые ошибки

Важно различать глобальное и локальное понимание закона: глобально суммарный заряд замкнутой системы остаётся постоянным; локально же изменение заряда в области связано с током через её границу, как следует из уравнения непрерывности $\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0$ и интегральной формы $\displaystyle\oint_{S}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=-\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV$.

Распространённая ошибка — попытка применять простую форму закона в ситуациях, где система не замкнута или присутствуют внешние источники/стоки заряда (например, ионизация среды, фотоэффект, генерация пар и т.п.). В таких случаях в уравнение непрерывности добавляют членов, описывающих генерацию или рекомбинацию зарядов.

Краткое резюме

Закон сохранения заряда — один из базовых законов природы, формулирующий невозможность спонтанного появления или исчезновения общей величины электрического заряда в замкнутой системе. Он выражается как глобально в виде постоянства суммарного заряда $Q_{\mathrm{tot}}=\mathrm{const}$, так и локально в виде уравнения непрерывности $\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0$. Практические применения охватывают электростатику, схемотехнику и электродинамику.

Понимание различия между интегральной и дифференциальной формами, а также умение правильно учитывать граничные условия и возможные источники/стоки заряда важны для корректного применения закона в задачах школьного и университетского уровня.