Закон сохранения механической энергии

Основные понятия

Механическая энергия - суммарная энергия, которую имеет система в результате движений её частей и их положения в поле сил; она складывается из кинетической и потенциальной составляющих.

Кинетическая энергия - энергия движения тела; для материальной точки она вычисляется как $\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}$.

Потенциальная энергия - энергия, связанная с положением тела в поле консервативных сил; для тела вблизи поверхности Земли она выражается формулой $\displaystyle V=mgh$.

Понимание этих понятий важно для применения закона сохранения: механическая энергия отражает способность тел совершать работу за счёт скорости и положения. В задачах часто встречается переход энергии из одной формы в другую без её потери при отсутствии не-консервативных сил.

Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетическая энергия характеризует интенсивность движения и пропорциональна массе и квадрату скорости, что формально задаётся выражением $\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}$. Это важное следствие динамики: при увеличении скорости в два раза кинетическая энергия увеличивается в четыре раза.

Потенциальная энергия в поле тяжести близко к поверхности Земли связана с высотой относительно выбранного нулевого уровня и даётся выражением $\displaystyle V=mgh$. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии в задачах часто условен, но физические изменения зависят от разности потенциалов.

Формулировка закона сохранения механической энергии

Определение закона даёт простое и широко применяемое утверждение: суммарная механическая энергия замкнутой системы сохраняется, если в ней действуют только консервативные силы. Алгебраически это выражается как сумма кинетической и потенциальной энергий:

$\displaystyle E=T+V$.

При отсутствии внешних неконсервативных сил (трения, сопротивления среды и т. п.) механическая энергия остаётся постоянной во времени, что записывается как $\displaystyle E_{i}=E_{f}$.

Вывод из теоремы о работе и энергии

Теорема о работе и энергии утверждает, что совершённая над телом работа всех сил равна изменению его кинетической энергии: $\displaystyle W_{\mathrm{net}}=\Delta T$. Если выделить работу консервативных сил, то для неё выполняется соотношение $\displaystyle W_{c}=-\Delta V$, где изменение потенциальной энергии связано с работой этих сил.

Сложив предыдущие выражения, получаем соотношение $\displaystyle \Delta T+\Delta V=0$, или эквивалентно $\displaystyle mgh_{i}+\frac{1}{2}mv_{i}^{2}=mgh_{f}+\frac{1}{2}mv_{f}^{2}$, что и является математическим выражением закона сохранения механической энергии при действии только консервативных сил.

Примеры и типовые задачи

Типичная задача — определить скорость тела при падении с высоты, если начальная скорость равна нулю. Используя закон сохранения механической энергии и положив начальную кинетическую энергию нулевой, получаем простое выражение для скорости внизу: $\displaystyle v=\sqrt{2gh}$.

Если в задаче присутствует пружина, потенциальная энергия пружины учитывается как $\displaystyle V_{\text{spring}}=\frac{1}{2}kx^{2}$, и общая энергия системы включает эту вкладку при составлении уравнения сохранения.

Ограничения применения

Закон сохранения механической энергии выполняется строго только при отсутствии диссипативных сил. В реальных условиях на тела действуют силы трения и сопротивления среды, которые преобразуют механическую энергию в теплоту, свет или звук, поэтому механическая энергия системы уменьшается.

В таких случаях полезно учитывать работу неконсервативных сил W_{nc} в обобщённой форме теоремы работы и энергии: изменение механической энергии равно сумме работ неконсервативных сил. Если W_{nc} не равно нулю, то $\displaystyle W_{\mathrm{net}}=\Delta T$ принимает дополнительный член, описывающий потери.

Консервативные силы и потенциалы

Консервативная сила - сила, работа которой не зависит от пути, а только от начального и конечного положения; такая сила может быть описана скалярным потенциалом V.

Математически связь между силой и потенциальной энергией выражается через градиент: $\displaystyle \vec{F}=-\nabla V$. Это позволяет при наличии потенциальной функции однозначно определять работу между двумя точками.

Для консервативных сил изменение потенциальной энергии при перемещении связано с работой этих сил знаком минус, что и лежит в основе вывода закона сохранения механической энергии.

Применения и практические замечания

Закон сохранения механической энергии широко применяется в механике, астрофизике, инженерии и повседневных задачах: от расчёта скоростей в горках и падении тел до определения орбитальных параметров в гравитационных системах и оценок запасов энергии в упругих элементах.

На практике при решении задач важно правильно выбирать систему отсчёта и нулевой уровень потенциальной энергии, учитывать влияние внешних сил и явно прописывать, какие силы считаются консервативными.

Задания для самоконтроля

1) Тело массы m отпущено с высоты h без начальной скорости. Найдите скорость внизу, игнорируя сопротивление воздуха, используя формулу $\displaystyle v=\sqrt{2gh}$.

2) Массивный блок сжатой пружины отпущен и отлетает. Покажите, как преобразуется энергия пружины, заданной как $\displaystyle V_{\text{spring}}=\frac{1}{2}kx^{2}$, в кинетическую энергию блока при отсутствии потерь.

3) Приведите пример, когда механическая энергия не сохраняется и объясните, какие силы нарушают её сохранение и как это проявляется в изменении энергии системы.