Закон сохранения импульса

Определение и физический смысл импульса

Импульс (количество движения) - векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость; характеризует «сколько движения» имеется у тела.

Импульс удобно использовать при описании движения тел, особенно когда важны взаимодействия за короткие промежутки времени или когда силы меняются. В классической механике импульс сохраняется в замкнутой системе при отсутствии внешних сил.

Интуитивно импульс показывает, насколько трудно остановить движущееся тело: чем больше масса и скорость, тем больше импульс, и тем сильнее должно быть взаимодействие, чтобы изменить состояние движения.

Математически связь между массой и скоростью выражается формулой для импульса $\vec{p}=m\vec{v}$.

Импульс силы и понятие удара

Импульс силы (удар) - интеграл по времени от силы, действующей на тело, дающий изменение его импульса.

Если на тело действует сила в течение конечного промежутка времени, её «удар» определяет приращение импульса тела. Это удобно, когда сила сильно меняется по времени, но суммарное действие удобно выразить через импульс силы.

Соотношение между импульсом силы и изменением импульса тела записывается формулой $\vec{J}=\Delta\vec{p}=\vec{F}\,\Delta t$. Эта запись следует непосредственно из второго закона Ньютона, если его переписать в форме для импульса.

Часто в задачах на столкновения используют понятие импульса силы вместо подробного анализа временной зависимости контакта — достаточно знать суммарный импульс взаимодействия.

Формулировка закона сохранения импульса и его доказательство

Закон сохранения импульса утверждает, что в замкнутой (изолированной) системе сумма векторов импульса всех тел остаётся постоянной со временем, если на систему не действуют внешние силы или их результирующий вектор равен нулю.

Формально для системы частиц закон можно записать как $\displaystyle\sum_i\vec{p}_{i,\text{initial}}=\displaystyle\sum_i\vec{p}_{i,\text{final}}$. Здесь учитываются векторный характер величин и суммирование по всем частицам системы.

Доказательство опирается на втором законе Ньютона для каждой частицы и на силу действия и противодействия: внутренние силы между частицами дают в сумме нулевой вклад, поэтому изменение суммарного импульса системы определяется только внешними силами, и при их отсутствии суммарный импульс постоянен.

Для двух тел закон сохранения принимает удобный вид {FORMULA_3}, который чаще всего применяется при решении задач о столкновениях.

Центр масс и связь с суммарным импульсом

Центр масс - точка, положение которой определяется массами и положениями всех частиц системы и при движении которой вся масса системы может быть сосредоточена для описания её поступательного движения.

Скорость центра масс определяется как взвешенная средняя скорость частиц системы, что записывается формулой $\displaystyle\vec{V}_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_i m_i\vec{v}_i}{\sum_i m_i}$. Эта величина важна тем, что движение центра масс подчиняется законам механики так, будто вся масса сосредоточена в этой точке и на неё действует суммарная внешняя сила.

Суммарный импульс системы связан с массой системы и скоростью её центра масс соотношением $\vec{P}_{\mathrm{total}}=M\vec{V}_{\mathrm{cm}}$. Отсюда следует удобный способ анализа движения сложных систем через движение их центра масс.

Если на систему не действуют внешние силы, то центр масс движется по инерции равномерно и прямолинейно, что эквивалентно сохранению суммарного импульса.

Применение к столкновениям: упругие и неупругие

Столкновение - взаимодействие двух или более тел, происходящее в течение малого промежутка времени, при котором тела обмениваются импульсом.

При анализе столкновений часто используют закон сохранения импульса вместе с дополнительными условиями, отличающими упругие и неупругие столкновения. Для двух тел в одномерном случае справедливо соотношение {FORMULA_3} повторно — суммарный импульс до и после столкновения одинаков.

В абсолютно неупругом столкновении тела после соударения движутся вместе — их скорости становятся одинаковыми, и это описывается уравнением {FORMULA_6}. Из этого уравнения легко выразить общую скорость сцепившихся тел как {FORMULA_7}.

Для абсолютно упругого столкновения дополнительно сохраняется кинетическая энергия; это даёт ещё одно уравнение, которое вместе с законом сохранения импульса позволяет полностью определить скорости после столкновения. Для двух масс аналитическое решение даёт формулы {FORMULA_8} и {FORMULA_9}, а также характерное свойство изменения относительной скорости {FORMULA_10} (при коэффициенте восстановления равном единице).

Коэффициент восстановления и частичная упругость

Коэффициент восстановления - безразмерная величина, равная отношению относительной скорости отделения тел после удара к относительной скорости сближения до удара, характеризующая степень упругости столкновения.

Обозначая коэффициент восстановления буквой e, его вводят через соотношение {FORMULA_11}. Величина e=1 соответствует абсолютно упругому столкновению, e=0 — абсолютно неупругому. Значения между 0 и 1 описывают частично упругие столкновения.

Используя e и закон сохранения импульса, можно решить задачу о скоростях тел после столкновения даже тогда, когда энергия не сохраняется полностью — достаточно двух уравнений для двух неизвестных скоростей.

Практически коэффициент восстановления зависит от свойств материалов и скорости соударяющихся тел и может определяться экспериментально по измерению скоростей до и после столкновения.

Связь с внешними силами и система с переменным составом

Если на систему действуют внешние силы, суммарный импульс меняется во времени по закону, следуюшему из второго закона Ньютона: темп изменения суммарного импульса равен результирующей внешней силе, что выражается формулой $\displaystyle\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}$.

В системах, где масса меняется (например, ракета, сбрасывающая топливо), удобно работать с общим законом для импульса, учитывая приход и уход массы и соответствующий обмен импульсом с выбрасываемой или присоединяемой массой. В предмете школьного курса такие ситуации рассматриваются с ограничениями, но основной принцип тот же: суммарный импульс системы меняется при действии внешних сил или при обмене импульсом с окружающей средой.

Закон сохранения импульса тесно связан с симметриями пространства: однородность пространства (инвариантность законов при переносе) порождает закон сохранения импульса в рамках теоремы Нётер.

Примеры и разбор задач

На практике задачи часто требуют аккуратной записи направлений скоростей и учёта знаков при применении формул. Векторный характер импульса делает формулировки универсальными: общее правило одно — суммарный вектор импульса изолированной системы не меняется.

Иллюстрация: {IMAGE_0} — схема двух тел перед и после столкновения; {IMAGE_1} — движение центра масс системы при взаимодействиях внутри неё.