Закон Кулона

Общее описание и историческая справка

Закон Кулона — фундаментальный закон электростатики, описывающий силу взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами. Он был экспериментально установлен Шарлем Огюстеном де Кулоном в конце XVIII века и стал одним из краеугольных камней классической электродинамики. Закон Кулона применим там, где размеры зарядов пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними и где отсутствуют ускоряющиеся заряды (статический случай).

Физически закон Кулона показывает, что электрические заряды взаимодействуют на расстоянии: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Направление и величина силы зависят только от величин зарядов и расстояния между ними, а не от свойств среды, кроме как через электрическую проницаемость.

Электрический заряд - свойство частиц, определяющее их электромагнитное взаимодействие; существует в двух знаках, положительном и отрицательном; заряд измеряется в кулонах.

Математическая формулировка закона

В скалярной форме величина силы взаимодействия двух точечных зарядов задаётся законом Кулона как $F=\frac{k q_1 q_2}{r^2}$. Здесь k — постоянная пропорциональности, называемая кулоновской константой.

Кулоновская константа выражается через электрическую постоянную среды свободного пространства следующим образом: $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. В системе СИ численное значение постоянной k удобно представлять приблизительно как $k\approx 8.99\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}\,C^{-2}}$.

Вектор положения - $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ описывает направленность и длину от одной точки (например, расположения первого заряда) к другой (второму заряду); используется при записи векторной формы закона.

Векторная запись и направление силы

Для точной записи направления силы используют векторную форму: $\mathbf{F}_{12}=k\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}_{12}$. В этой записи направляющий единичный вектор показывает направление действия силы от одного заряда к другому; знак произведения зарядов определяет, будет ли сила притяжения или отталкивания.

Единичный вектор, указывающий направление от одного заряда к другому, определяется как $\hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r}$. Использование векторной записи делает явным, как изменяется направление силы при перестановке зарядов и при сложении нескольких взаимодействий.

Единичный вектор - $\hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r}$ — вектор длины единица, указывающий направление между двумя точками; служит для задания направления векторных величин без изменения их размера.

Связь с электрическим полем и энергия

Понятие электрического поля удобно вводит закон Кулона в другой форме: поле, создаваемое точечным зарядом в данной точке пространства, определяется как сила, действующая на единичный положительный пробный заряд, помещённый в эту точку. В векторной форме поле точечного заряда записывается как $\mathbf{E}=k\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$.

Если на пробный заряд действует сила, то связь между силой и полем выражается формулой $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$. Эта зависимость позволяет переходить от рассмотрения взаимодействий зарядов как пары к рассмотрению свойства пространства — электрического поля.

Связь между потенциальной энергией двух точечных зарядов и расстоянием задаётся выражением $U=k\frac{q_1 q_2}{r}$. Знание потенциальной энергии важно при анализе работы по перемещению зарядов и сохранению энергии в электростатических системах.

Принцип суперпозиции

В электростатике действует принцип суперпозиции: результирующая сила на данный заряд равна векторной сумме сил от всех остальных зарядов. Это формально записывается как $\mathbf{F}=\sum_{i}\mathbf{F}_i$. Принцип суперпозиции позволяет решать задачи с большим числом зарядов, сводя их к сумме простых парных взаимодействий.

На практике при применении принципа суперпозиции важно учитывать направления отдельных векторных слагаемых: силы складываются по векторному закону, и результирующая может существенно отличаться по направлению и модулю от каждой из составляющих.

Экспериментальные аспекты и роль среды

Закон Кулона был подтверждён большим количеством измерений. В реальной среде взаимодействие зарядов модифицируется диэлектрической проницаемостью среды: в простейшем приближении это учитывается через замену электрической постоянной вакуума на соответствующую постоянную среды. Численное значение электрической постоянной вакуума приведено в виде $\varepsilon_0\approx 8.854187817\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$.

При приближении материальных тел к точечным зарядам необходимо учитывать распределение заряда по объёму и геометрию проводников и диэлектриков: закон Кулона в его простом виде применим только к точечным или сферам с равномерным зарядом вне области распределения.

Примеры задач и практические вычисления

Пример 1 (численный). Найдём силу взаимодействия между двумя положительными точечными зарядами q1=1 мкКл и q2=2 мкКл, расположенными на расстоянии r=0,05 м в вакууме. Подставляя значения в формулу закона Кулона, получаем выражение вычисления: $F= k\frac{(1\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0.05)^2}$. В результате модуль силы равен примерно $F\approx 7.19\ \mathrm{N}$.

Пример 2 (суперпозиция). Рассмотрим три заряда, расположенные на одной прямой. Чтобы найти силу на средний заряд, необходимо вычислить по закону Кулона силу от каждого соседнего заряда и затем сложить векторно (учитывая знаки и направления). Это иллюстрирует методику, когда одна и та же базовая формула $F=\frac{k q_1 q_2}{r^2}$ применяется многократно и суммируется по правилу $\mathbf{F}=\sum_{i}\mathbf{F}_i$.

Замечания, ограничения и связь с другими законами

Закон Кулона справедлив в электростатике при отсутствии значительных релятивистских эффектов и когда заряды можно считать точечными по сравнению с расстоянием между ними. При движении зарядов и при учёте времени распространения взаимодействий требуется теория электродинамики Максвелла и теория относительности.

Закон Кулона тесно связан с законом сохранения энергии через понятие потенциала и потенциальной энергии, а также является частным случаем более общей картины электромагнитного взаимодействия, где поле и его источники описываются уравнениями Максвелла.