Закон Архимеда и плавучесть тел

Основная формулировка и смысл закона Архимеда

Закон Архимеда - при погружении тела в жидкость или газ на него действует со стороны окружающей среды выталкивающая сила, направленная вверх.

Физический смысл закона заключается в том, что давление жидкости растёт с глубиной, поэтому нижние части погружённого тела испытывают большее давление, чем верхние. Разность давлений на разные поверхности создаёт силу, равную весу вытесненной жидкости, и это приводит к явлению всплытия или плавания тел.

Общая формула для выталкивающей силы выражается как $F_A = \rho_{\mathrm{ж}}\;g\;V_{\mathrm{погр}}$. Эта формула показывает, что сила пропорциональна плотности жидкости, ускорению свободного падения и объёму вытесненной жидкости. Важно понимать, что объём, который участвует в формуле, — это объём вытесненной (погружённой) части тела, а не общий объём тела, если тело находится не полностью под водой.

Говоря простыми словами: если тело «занимает место» в жидкости, то оно «замещает» некоторый объём жидкости, и жидкость, стремясь восстановить свой уровень, оказывает на тело выталкивающую силу.

Математическая запись и условия равновесия

Вес тела, который действует вниз, равен его массе, умноженной на ускорение свободного падения — это выражается формулой $W = m\;g$. Для устойчивого плавания необходимо, чтобы сила тяжести тела была в равновесии с выталкивающей силой жидкости.

Условие плавания (равновесия по вертикали) можно записать как $m\;g = \rho_{\mathrm{ж}}\;g\;V_{\mathrm{погр}}$, что при подстановке выражения массы через плотность тела даёт соотношение $m = \rho_{\mathrm{т}}\;V_{\mathrm{т}}$. Из этого следует важная формула отношения вытесненной и полного объёмов тела: $\displaystyle \frac{V_{\mathrm{погр}}}{V_{\mathrm{т}}}=\frac{\rho_{\mathrm{т}}}{\rho_{\mathrm{ж}}}$. Это соотношение позволяет определить, какая доля тела окажется погружённой при плавании в данной среде.

Критерии плавучести тела формулируются через сравнение плотностей: тело будет плавать, если выполнено неравенство $\rho_{\mathrm{т}}<\rho_{\mathrm{ж}}$; будет тонуть — если $\rho_{\mathrm{т}}>\rho_{\mathrm{ж}}$; будет находиться в состоянии нейтральной плавучести, если $\rho_{\mathrm{т}}=\rho_{\mathrm{ж}}$.

Давление в жидкости и вывод формулы Архимеда

Гидростатическое давление - давление внутри покоящейся жидкости, возникающее из-за её веса и зависящее от глубины.

Давление на глубине h записывается как $p=p_0+\rho_{\mathrm{ж}}\;g\;h$, где $p=p_0+\rho_{\mathrm{ж}}\;g\;h$ отражает тот факт, что к начальному давлению на поверхности добавляется давление столба жидкости высоты h. Разность давлений между нижней и верхней поверхностями погружённого тела и даёт выталкивающую силу.

Более строгий вывод основывается на интегрировании распределённого давления по поверхности тела; интеграл давления по вертикальной проекции объёма даёт суммарную силу, равную весу вытесненной жидкости: $F_A=\int\limits_{V}\rho_{\mathrm{ж}}\;g\;dV\;=\;\rho_{\mathrm{ж}}\;g\;V_{\mathrm{погр}}$. Это показывает, почему форма тела не влияет на величину выталкивающей силы — важен лишь объём вытесненной жидкости и её плотность.

Практические применения и примеры расчётов

Зная формулу Архимеда, можно решать типичные школьные задачи: определить, какая часть тела погрузится в воду, определить выталкивающую силу для заданного объёма или узнать, утонет ли тело в жидкости с заданной плотностью. Для численных расчётов полезно подставлять конкретные значения плотностей и объёма, как в следующем примере.

При решении задач важно обращать внимание на размерности и единицы измерения. Плотность в системе СИ измеряется в кг/м³, объём — в м³, g ≈ 9.81 м/с², а сила — в ньютонах (Н). Неправильное преобразование единиц может привести к ошибке в несколько раз.

Устойчивость плавания, центр тяжести и центр плавучести

Центр плавучести - точка приложения выталкивающей силы; это центр тяжести вытесненного объёма жидкости.

Для устойчивого положения плавающего тела необходимо рассмотрение моментов сил. Если центр тяжести тела расположен ниже центра плавучести, то возникающие поворачивающие моменты будут возвращать тело в исходное положение. Если же центр тяжести выше, положение может быть неустойчивым. Математически понятие метацентра и метацентрической высоты даёт критерий устойчивости.

В простом приближении метацентрическая высота GM определяется как разность $GM=BM-BG$, где BM — расстояние от центра плавучести до метацентра и BG — расстояние между центром плавучести и центром тяжести. Для рисованных и практических задач часто используется формула $BM=\dfrac{I}{V}$, где I — второй момент площади поперечного сечения относительно оси.

Сложные случаи: многослойные среды и пористые тела

Если тело находится в слоистом составе жидкостей различной плотности, выталкивающая сила равна весу суммарного объёма каждой жидкости, вытесненного соответствующей частью тела. Формально это выражается суммой по слоям: $F_A=\sum_i\rho_i\;g\;V_{\mathrm{погр},i}$.

Пористые тела - тела, внутренняя пористость которых может заполняться жидкостью. Для таких тел эффективная плотность рассчитывается с учётом заполнения пор, и условие плавучести применяют к средней (эффективной) плотности.

При наполнении пор вода повышает среднюю плотность тела и тем самым влияет на долю погружения и устойчивость. Если пористое тело полностью пропитано и его плотность становится равной плотности жидкости, тело будет находиться в состоянии нейтральной плавучести.

Исторические замечания и парадоксы

Закон Архимеда открыт в античные времена и связан с легендой о громком восклицании учёного, обнаружившего правило при купании. Важнее практическая значимость: принцип лежит в основе кораблестроения, подводной техники, гидростатики и многих инженерных расчётов.

Гидростатический парадокс - утверждение, что сила, действующая на дно сосуда, зависит только от массы жидкости (или её высоты), но не от формы сосуда. В контексте выталкивающей силы парадокс проявляется в том, что для погружённых тел форма не влияет на величину выталкивающей силы — только объём вытесненной жидкости.

Понимание закона Архимеда помогает решать сложные прикладные задачи: проектирование плавучих платформ, расчёт нагрузки на подводные конструкции, проектирование буйков и многое другое. В школьном курсе полезно отрабатывать навыки перехода от формул к практическим численным ответам и интерпретировать результаты физически.