КонспектыФизика

Векторы: операции и задачи

Векторы: операции и задачи

Введение: что такое вектор

Вектор - направленный отрезок в пространстве (или на плоскости), который имеет величину и направление; обозначается, например, как a⃗\vec{a}.

В повседневной школьной физике векторы используются для описания величин, у которых есть направление: смещения, скорости, ускорения, силы. Модуль (длина) вектора обозначают как ∣a⃗∣|\vec{a}| и вычисляют по его компонентам.

Геометрическое представление и компоненты

Геометрически вектор можно записать через координаты: a⃗=(ax,ay)\vec{a}=(a_x,a_y). В двумерной системе координат это удобно для перехода между геометрическим и аналитическим представлением.

Модуль вектора в прямоугольной системе определяется формулой ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}, где используются компонентные координаты a⃗=(ax,ay)\vec{a}=(a_x,a_y).

Если задана величина вектора и угол между вектором и осью абсцисс, компоненты выражаются через тригонометрические функции: ax=∣a⃗∣cos⁡αa_x=|\vec{a}|\cos\alpha и ay=∣a⃗∣sin⁡αa_y=|\vec{a}|\sin\alpha. Это удобно при разложении вектора по осям и при решении задач на проекции и силы.

Сложение и вычитание векторов

Операция сложения векторов записывается как a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}. Геометрически сложение выполняют по правилу параллелограмма или методом «голова к хвосту».

Вычитание векторов эквивалентно сложению с противоположным направлением: a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b}. На плоскости это позволяет находить вектор разности между двумя перемещениями или силами.

Пример: если задан вектор a⃗=(3,4)\vec{a}=(3,4) (координатный вид), то его модуль вычисляют по формуле ∣a⃗∣=32+42|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}. Результат используют при сложении и нормировании векторов.

Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор

Умножение вектора на число (скаляр) задаётся формулой ka⃗k\vec{a}. При умножении модуль вектора масштабируется на абсолютную величину скаляра, а направление меняется на противоположное при отрицательном скаляре.

Единичный вектор - вектор длины единица, направленный вдоль данного вектора; рассчитывается как u^=a⃗∣a⃗∣\hat{u}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}.

Пример: для a⃗=(3,4)\vec{a}=(3,4) модуль равен ∣a⃗∣=32+42|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}, а соответствующий единичный вектор записывается как u⃗=a⃗∣a⃗∣\vec{u}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}.

Скалярное произведение (dot product)

Скалярное произведение - операция, дающая скаляр, определяется формулой в компонентах a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z и через угол между векторами a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta.

Из формулы a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta следует выражение для вычисления угла между векторами: cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}. Это позволяет, например, проверять ортогональность (перпендикулярность): a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 означает, что векторы перпендикулярны.

Пример: пусть b⃗=(1,2,3)\vec{b}=(1,2,3) и c⃗=(4,−5,6)\vec{c}=(4,-5,6). Тогда их скалярное произведение равно b⃗⋅c⃗=1⋅4+2⋅(−5)+3⋅6\vec{b}\cdot\vec{c}=1\cdot 4+2\cdot(-5)+3\cdot 6, что упрощается до b⃗⋅c⃗=4−10+18\vec{b}\cdot\vec{c}=4-10+18 и даёт значение b⃗⋅c⃗=12\vec{b}\cdot\vec{c}=12. Для дальнейших задач полезно вычислить модули ∣b⃗∣=12+22+32|\vec{b}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2} и ∣c⃗∣=42+(−5)2+62|\vec{c}|=\sqrt{4^2+(-5)^2+6^2} и угол по формуле θ=arccos⁡(b⃗⋅c⃗∣b⃗∣∣c⃗∣)\theta=\arccos\left(\dfrac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|}\right).

Векторное произведение (только в трёхмерном пространстве)

Векторное произведение - операция, определённая в трёхмерном пространстве, результатом которой является вектор, перпендикулярный к исходным; в координатах оно задаётся детерминантом a⃗×b⃗=∣ijkaxayazbxbybz∣\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, натянутого на два вектора, и выражается формулой ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta.

Пример: пусть a⃗=(1,2,3)\vec{a}=(1,2,3) и d⃗=(4,5,6)\vec{d}=(4,5,6). Тогда векторное произведение вычисляем по детерминанту a⃗×d⃗=∣ijk123456∣\vec{a}\times\vec{d}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&3\\4&5&6\end{vmatrix} и получаем a⃗×d⃗=(−3,6,−3)\vec{a}\times\vec{d}=(-3,6,-3). Модуль этого вектора вычисляется как ∣a⃗×d⃗∣=(−3)2+62+(−3)2|\vec{a}\times\vec{d}|=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}, что после упрощения даёт ∣a⃗×d⃗∣=9+36+9|\vec{a}\times\vec{d}|=\sqrt{9+36+9} и окончательно ∣a⃗×d⃗∣=54|\vec{a}\times\vec{d}|=\sqrt{54}.

Проекция и разложение вектора

Проекция вектора a⃗\vec{a} на направляющий вектор ∣a⃗∣|\vec{a}| (или на любой ненулевой вектор a⃗\vec{a}) даётся формулой projb⃗a⃗=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣2 b⃗\mathrm{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b}. Проекции важны при расчёте составляющих силы или при переходе к координатам вдоль новой оси.

Любой вектор можно разложить на компоненту вдоль некоторого направления и на компоненту, перпендикулярную ему: a⃗=projb⃗a⃗+(a⃗−projb⃗a⃗)\vec{a}=\mathrm{proj}_{\vec{b}}\vec{a}+\left(\vec{a}-\mathrm{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\right). Такое разложение удобно при решении задач на равновесие и на нахождение составляющих ускорения.

Пример: для векторов из примера со скалярным произведением проекция b⃗=(1,2,3)\vec{b}=(1,2,3) на c⃗=(4,−5,6)\vec{c}=(4,-5,6) выражается как projc⃗b⃗=12∣c⃗∣2c⃗\mathrm{proj}_{\vec{c}}\vec{b}=\dfrac{12}{|\vec{c}|^2}\vec{c}, где ∣c⃗∣2=42+(−5)2+62|\vec{c}|^2=4^2+(-5)^2+6^2 появляется при вычислении знаменателя.

Векторные уравнения и задачи

Векторное уравнение прямой в пространстве записывается как r⃗=r⃗0+tv⃗\vec{r}=\vec{r}_0+t\vec{v}. Это позволяет описывать траектории, направления сил и перемещений в компактном виде и решать задачи на пересечение и параллельность.

Например, прямая через точку с радиус-вектором r⃗=(1,2,3)+t(4,5,6)\vec{r}=(1,2,3)+t(4,5,6) задаётся параметрически при помощи параметра t. Для поиска точки пересечения двух прямых или при проверке, лежит ли точка на прямой, используют координатные формы этого уравнения и сравнивают компоненты.

Умение переходить между геометрическим, компонентным и алгебраическим описаниями векторов, знать формулы для всех основных операций и уметь применять их в задачах — ключ к успешному решению задач школьного уровня по физике и геометрии.

Советы при решении задач с векторами

Всегда выписывайте вектор в компонентном виде, если задача требует явных вычислений; используйте a⃗=(ax,ay)\vec{a}=(a_x,a_y) и формулы для модуля и скалярного произведения (∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}, a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z).

При наличии углов удобнее применять разложение через косинусы и синусы (ax=∣a⃗∣cos⁡αa_x=|\vec{a}|\cos\alpha, ay=∣a⃗∣sin⁡αa_y=|\vec{a}|\sin\alpha) и затем сводить задачу к системе уравнений для компонентов. При трёхмерных задачах полезно помнить свойства векторного произведения (a⃗×b⃗=∣ijkaxayazbxbybz∣\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}, ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta).