Упругие столкновения с подвижной плитой

Введение и постановка задачи

В этом разделе мы формализуем задачу упругого столкновения точки массы с подвижной плитой в одном измерении. Под подвижной плитой понимается массивная плоская поверхность, которой можно приписать эквивалентную массу и линейную скорость вдоль направления движения частицы. Часто такую модель используют как приближение тонкой пластины большого радиуса при столкновениях шарика с опорной поверхностью.

Основные законы, которыми мы будем руководствоваться, это закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии для упругого столкновения. Их математические формулировки даются ниже и будут использоваться при выводах и решении задач. Ссылки на формулы в тексте приведены в виде маркеров $m v + M V = m v'' + M V''$ и $\tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} M V^{2} = \tfrac{1}{2} m v''^{2} + \tfrac{1}{2} M V''^{2}$.

Упругое столкновение - столкновение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия системы и при котором взаимодействие происходит без пластической деформации и потерь энергии на нагревание.

Закон сохранения импульса и энергия при столкновении

Запишем закон сохранения импульса для системы из двух тел: частицы массы m с начальной скоростью v и плиты массы M с начальной скоростью V. Этот закон имеет вид $m v + M V = m v'' + M V''$.

В случае упругого столкновения дополнительно справедливо сохранение полной кинетической энергии системы. Его выражение выглядит как $\tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} M V^{2} = \tfrac{1}{2} m v''^{2} + \tfrac{1}{2} M V''^{2}$.

Из системы уравнений $m v + M V = m v'' + M V''$ и $\tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} M V^{2} = \tfrac{1}{2} m v''^{2} + \tfrac{1}{2} M V''^{2}$ удобно получить компактную связь для относительной скорости: при упругом лобовом столкновении относительная скорость после столкновения равна по модулю и противоположна по направлению относительной скорости до столкновения. Это записывается как $v'' - V'' = -\left(v - V\right)$.

Вывод формул скоростей после столкновения

Решая систему уравнений сохранения импульса и энергии, получают выражения для скоростей после столкновения v'' (скорость частицы) и V'' (скорость плиты). Общие формулы записываются как $v'' = \dfrac{(m - M)}{(m + M)}\,v + \dfrac{2M}{m + M}\,V$ и $V'' = \dfrac{2m}{m + M}\,v + \dfrac{(M - m)}{(m + M)}\,V$.

Часто рассматривают упрощенный случай, когда плита изначально покоится: V=$Для\;V=0:\quad v'' = \dfrac{m - M}{m + M}\,v$. Тогда формулы упрощаются до $Для\;V=0:\quad v'' = \dfrac{m - M}{m + M}\,v$ для скорости частицы и $Для\;V=0:\quad V'' = \dfrac{2m}{m + M}\,v$ для скорости плиты после столкновения. Эти выражения позволяют легко оценить направление и величину отдачи плиты и изменение скорости частицы.

Коэффициент восстановления (e) - безразмерная величина, определяющая отношение относительной скорости отделения тел после столкновения к относительной скорости сближения до столкновения. Для идеального упругого столкновения $e = -\dfrac{v'' - V''}{v - V}$.

Анализ в системе центра масс

Ввод центральной инерциальной системы, связанной с центром масс, упрощает анализ столкновения. Скорость центра масс определяется как $V_{\mathrm{cm}} = \dfrac{m v + M V}{m + M}$ и служит опорной при переходе в систему, где суммарный импульс равен нулю.

Перейдя в систему центра масс, начальные скорости тел относительно центра масс задаются как $u = v - V_{\mathrm{cm}},\quad U = V - V_{\mathrm{cm}}$. В этой системе упругое столкновение просто инвертирует знаки скоростей: $u'' = -u,\quad U'' = -U$. Это эквивалентно сказанному ранее свойству относительной скорости и упрощает качественное понимание явления.

Система центра масс - инерциальная система отсчета, в которой суммарный импульс рассматриваемой системы равен нулю. Переход в неё часто упрощает математические выкладки при решении задач на столкновения.

Пример: шарик массы m и плита массы M (численный)

Физическая интерпретация результатов

Если масса плиты M значительно больше массы шарика m (M >> m), то коэффициент $Для\;V=0:\quad v'' = \dfrac{m - M}{m + M}\,v$ приближается к $\text{Предел }M\gg m:\quad v''\approx -v$ и частица почти отражается с изменением знака скорости, а плита практически не получает скорости. Это отражает физический смысл «жесткой неподвижной стены» как предельного случая подвижной пластины.

Если массы сопоставимы, часть кинетической энергии передается плите, и в лабораторной системе можно наблюдать значительную отдачу плиты. Формулы $v'' = \dfrac{(m - M)}{(m + M)}\,v + \dfrac{2M}{m + M}\,V$ и $V'' = \dfrac{2m}{m + M}\,v + \dfrac{(M - m)}{(m + M)}\,V$ показывают, как распределение масс влияет на итоговые скорости.

Методика решения задач и рекомендации

Алгоритм решения типовой задачи упругого столкновения с подвижной плитой выглядит так: 1) выписать закон сохранения импульса $m v + M V = m v'' + M V''$; 2) выписать закон сохранения энергии $\tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} M V^{2} = \tfrac{1}{2} m v''^{2} + \tfrac{1}{2} M V''^{2}$; 3) решить систему относительно неизвестных v'' и V'', либо перейти в систему центра масс и использовать свойство инверсии скоростей $u'' = -u,\quad U'' = -U$; 4) при необходимости проверить результаты подстановкой в исходные уравнения.

При решении задач важно внимательно отслеживать знаки скоростей (договориться о положительном направлении), а для численных примеров проводить проверку на соблюдение обоих законов сохранения. Также полезно исследовать предельные случаи (M >> m и M << m), чтобы убедиться в разумности результатов.

Иллюстрации и дополнительные замечания

Схема столкновения может быть представлена графически: направление скорости частицы, направление скорости плиты, области передачи импульса и энергии. Для наглядности можно использовать рисунки моделей: шарик, приближающийся к плите, и траектории до и после столкновения. В тексте помечены места для вставки рисунков: {IMAGE_0} и {IMAGE_1}.

На практических занятиях рекомендуется провести серию опытов или компьютерных моделирований, варьируя массы и начальные скорости, чтобы увидеть, как меняются v'' и V'' и как выполняются законы сохранения. Это укрепит интуитивное понимание и пригодится при решении олимпиадных задач.