КонспектыФизика

Тонкие линзы и построение изображений

Тонкие линзы и построение изображений

Основные понятия

Линза - прозрачное оптическое тело, ограниченное двумя поверхностями так, что при прохождении света лучи преломляются и могут собираться или расходиться.

Фокус - точка на оптической оси, в которую сходятся или от которой кажутся расходящимися лучи, после прохождения через линзу.

В школьном курсе под тонкой линзой понимают такую линзу, толщина которой заметно меньше её радиусных кривизн и фокусного расстояния. Это позволяет пренебречь смещением главных плоскостей и считать, что все преломления происходят в одной плоскости. Благодаря этому упрощается математическое описание и построение изображений.

Для описания положения объекта и изображения используют условные обозначения расстояний и размеров. В тексте дальнейших параграфов символы и формулы представлены отдельными плейсхолдерами, чтобы сохранить аккуратное отображение математических выражений.

Фокусное расстояние и свойства тонкой линзы

Фокусное расстояние - расстояние от линзы до фокальной точки; параметр, который определяет, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет.

Фокусное расстояние зависит от кривизны поверхностей линзы и показателя преломления материала. Для двояковыпуклой или вогнуто-выпуклой линзы знак фокусного расстояния положителен для собирающих линз и отрицателен для рассеивающих. Знание фокусного расстояния позволяет предсказывать положение изображения для любого размещения объекта относительно линзы.

Связь фокусного расстояния с геометрическими параметрами линзы даёт так называемое уравнение создателя линз, которое полезно при проектировании оптических систем. В практических задачах часто используют приближение тонкой линзы и линейную оптику без учета аберраций.

Кроме фокусного расстояния, важна оптическая сила линзы, которая определяется как величина, обратная фокусному расстоянию. Эта величина удобна для суммирования эффектов нескольких линз, когда они располагаются близко друг к другу.

Формула тонкой линзы и увеличение

Математическое соотношение, связывающее фокусное расстояние, расстояние от объекта до линзы и расстояние от изображения до линзы, записывается в компактной форме как 1f=1do+1di\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}. Эта формула позволяет найти положение изображения по заданному положению объекта или, наоборот, требуемое фокусное расстояние линзы для получения изображения в нужной точке.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется увеличением. Для тонкой линзы увеличение связано с расстояниями от линзы до изображения и до предмета и выражается формулой m=−dido\displaystyle m=-\frac{d_i}{d_o}. Альтернативная форма записи связывает увеличение с отношением высот предмета и изображения: hiho=m\displaystyle \frac{h_i}{h_o}=m.

Эти формулы вместе позволяют решать стандартные задачи: найти размеры изображаемого предмета, определить положительное или отрицательное увеличение (что связано с прямым или перевёрнутым изображением), а также прогнозировать видимость изображения на экране или сетчатке глаза.

Пример типовой задачи: имея фокусное расстояние и положение предмета относительно линзы, используйте формулу 1f=1do+1di\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} для нахождения положения изображения, а затем формулу m=−dido\displaystyle m=-\frac{d_i}{d_o} для вычисления увеличения. В практическом решении важно соблюдать знаковые соглашения и корректно интерпретировать полученные знаки.

Построение изображений: правила и схемы

Построение изображений в геометрической оптике опирается на несколько простых лучевых правил, применимых к тонкой линзе. Первое правило: луч, параллельный оптической оси, после прохождения через собирающую линзу проходит через фокус с другой стороны; для рассеивающей линзы этот луч кажется исходящим из фокуса на той же стороне. Второе правило: луч, проходящий через центр линзы, проходит без отклонения (в приближении тонкой линзы). Третье правило: луч, проходящий через фокус перед линзой, после линзы идет параллельно оси.

Используя эти три луча, можно конструктивно определить положение изображения для любого конечного предмета. На практике достаточно построить два из трёх лучей и найти их пересечение (или кажущееся пересечение) для определения вершины изображения, затем провести параллельные перенесения, чтобы получить полный профиль изображения.

Практический пример построения: возьмите восходящий предмет, начертите оптическую ось и отметьте фокальные точки. Проведите луч от вершины предмета параллельно оси и продолжите его через фокус; затем проведите луч через центр линзы; точка их пересечения укажет вершину изображения. Чтобы получить размеры, можно провести дополнительную геометрическую параллельную проекцию. Иллюстрация такого построения обычно сопровождается схемой: {IMAGE_0}.

Важно помнить, что для рассеивающей линзы пересечение лучей происходит по продолжениям, и итоговое изображение будет мнимым и расположенным на той же стороне линзы, где находится предмет. Для собирающей линзы изображение может быть действительным или мнимым в зависимости от положения предмета относительно фокуса.

Типы изображений и знаковые соглашения

В задачах по тонким линзам изображения классифицируют по нескольким признакам: действительное или мнимое, прямое или перевёрнутое, увеличенное или уменьшенное. Действительное изображение формируется в точке, где пересекаются реальные лучи; его можно получить на экране. Мнимое изображение формируется в точке, где пересекаются продолжения лучей, и его нельзя зафиксировать на экране, но увидеть через линзу как видимое в окуляре тело.

Чтобы однозначно интерпретировать результаты формул, вводится знаковая система: положительные и отрицательные значения для расстояний и размеров указывают на стороны оси и на типы изображений. При решении задач целесообразно сначала проговаривать вслух, какое изображение ожидается (действительное или мнимое, прямое или перевёрнутое), и затем проверять полученные результаты по знакам в формулах.

Ещё один полезный приём — использование понятия оптической силы. Оптическая сила линзы определяется как P=1f\displaystyle P=\frac{1}{f}. Это удобно при подборе оптических элементов: например, при последовательном соединении двух лёгких линз, расположенных близко друг к другу, результирующая сила равна сумме их сил, что математически выражается через эквивалентное фокусное расстояние как 1feq=1f1+1f2\displaystyle \frac{1}{f_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}.

Для расчётов фокусного расстояния через характеристики материала и кривизны поверхностей применяется формула, связывающая показатель преломления с радиусами кривизны (формула создателя линз): 1f=(n−1)(1R1−1R2)\displaystyle \frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right). Она полезна при изготовлении линз и при решении задач, где нужно оценить влияние изменения материала на фокусное расстояние.

Заключение: изучение тонких линз сочетает в себе простые геометрические построения и несколько ключевых формул. Освоив правила построения лучей и корректно применяя формулы для расстояний и увеличения, ученик может решать широкий класс задач по оптике и понимать принципы работы оптических приборов.