Теорема о движении центра масс

Определение центра масс и физический смысл

Центр масс - точка, координаты которой определяются как взвешенное среднее положений всех точек системы по их массам; движение этой точки отражает поведение всей системы под влиянием внешних сил.

Формально понятие центра масс задаётся выражением $R=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i r_i$, где суммирование выполняется по всем материальным точкам системы, а $M=\sum_i m_i$ — полная масса системы. Центр масс можно рассматривать как «среднюю позицию» массы, и для многих задач удобно рассматривать движение системы как движение этой точки вместе с дополнительным внутренним движением.

Импульс системы - векторная величина, равная сумме импульсов всех частиц системы; он описывает поступательное движение всей системы как единого тела.

Скорость центра масс и суммарный импульс связаны соотношением $V=\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i v_i$ и $P=\sum_i m_i v_i = M V$. Эти формулы показывают, что если известны скорости всех частиц, можно однозначно найти скорость и импульс центра масс системы.

Вывод теоремы для системы частиц

Для вывода теоремы начнём с основного закона Ньютона, применимого к каждой частице системы: $m_i a_i=F_i^{\mathrm{ext}}+\sum_j F_{ij}$. Здесь правая часть содержит внешние силы, действующие на частицу, и суммы внутренних сил, которые частицы системы действуют друг на друга.

Просуммировав уравнения по всем частицам, получаем соотношение для производной суммарного импульса: $\dfrac{dP}{dt}=\sum_i F_i^{\mathrm{ext}}+\sum_i\sum_j F_{ij}$. По закону действия и противодействия сумма внутренних взаимодействий в сумме по всем парам компланарных сил равна нулю, что записывается как $\sum_i\sum_j F_{ij}=0$.

С учётом этого результата выражение упрощается и даёт ключевое утверждение теоремы о движении центра масс: $M\dfrac{dV}{dt}=\sum_i F_i^{\mathrm{ext}}$. Это означает, что центру масс системы подчиняется уравнение движения, аналогичное второму закону Ньютона для материальной точки массой равной суммарной массе системы; правая часть — векторная сумма всех внешних сил.

Отсюда следует важный вывод: изменение суммарного импульса системы определяется только внешними воздействиями. Если результирующая внешняя сила равна нулю, суммарный импульс и скорость центра масс остаются постоянными, независимо от каких-либо внутренних процессов внутри системы.

Непрерывная система: интегральная запись

Для сплошного тела или распределённой системы формулы принимают интегральный вид. Координата центра масс в этом случае определяется формулой $R=\dfrac{1}{M}\int r\,dm$, где интегрирование проводится по всей массе тела. Полная масса записывается как $M=\int dm$.

Аналогично для непрерывной системы можно показать, что справедливо уравнение движения центра масс в виде $M\dfrac{dV}{dt}=\sum_i F_i^{\mathrm{ext}}$, где сумма внешних сил заменяется на интеграл от плотности внешних объёмных и поверхностных воздействий. Интегральная форма особенно удобна при анализе деформируемых тел и распределённых масс.

При практических вычислениях часто полезно выделять геометрические и массовые симметрии, позволяющие упростить интегралы и явно найти положение центра масс. Для однородных тел центр масс совпадает с геометрическим центром симметрии.

{IMAGE_0}

Кинетическая энергия и разложение движения

Движение системы можно разложить на поступательное движение центра масс и относительное движение частиц относительно этого центра. Для скоростей такой декомпозиции записывается соотношение $v_i=V+v_i''$, где $V=\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i v_i$ — скорость центра масс, а быстро меняющие компоненты соответствуют относительным скоростям частиц.

Это разложение даёт удобную формулу для кинетической энергии всей системы: $T=\dfrac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2 = \dfrac{1}{2} M V^2 + \dfrac{1}{2}\sum_i m_i v_i''^2$. Правая часть состоит из кинетической энергии, связанной с движением центра масс, и энергии относительных движений внутри системы. Такое представление удобно при анализе пара столкновений, вращения и колебаний.

На школьном уровне важно понимать, что внутренняя энергия движения не влияет на движение центра масс, однако она может переходить в другие формы энергии при взаимодействиях, если внешние силы не обеспечивают работу над системой.

Закон сохранения импульса и практические следствия

Из уравнения $M\dfrac{dV}{dt}=\sum_i F_i^{\mathrm{ext}}$ непосредственно получаем правило сохранения импульса: если результирующая внешних сил на систему равна нулю — $\sum_i F_i^{\mathrm{ext}}=0\quad\Rightarrow\quad \dfrac{dP}{dt}=0$ — то суммарный импульс системы остаётся постоянным. Это фундаментальное следствие используется во множестве задач школьного курса: при столкновениях, взрывах, в задачах на взаимодействие тел без внешних воздействий.

Например, при разлёте осколков после взрыва суммарный импульс остаётся тем же, что и у исходного тела, поэтому центр масс продолжает двигаться так, как двигался до взрыва, если внешние силы пренебрежимо малы.

Другой практический вывод — в задачах механики при анализе сложного взаимодействия удобно рассмотреть движение центра масс отдельно и затем рассмотреть относительные движения относительно этого центра. Это упрощает расчёт кинематических и динамических величин.

Системы с переменной массой и важные оговорки

В стандартной формулировке теорема предполагает, что масса системы постоянна (замкнутая система). Если масса системы изменяется за счёт обмена вещества с окружением, необходимо дополнить уравнение движения центро́в масс членами, учитывающими поток импульса: $M\dfrac{dV}{dt}=\sum F_{\mathrm{ext}}+u_{\mathrm{rel}}\dfrac{dM}{dt}$. В частностях, при движении реактивного двигателя возникает эффект, описываемый этой поправкой.

В школьных задачах чаще рассматриваются два подхода: либо систему задают как замкнутую (масса постоянна), либо отдельно рассматривают тело и вытекающую массу (ракетный корпус и струя). В последнем случае аккуратно учитывают относительную скорость уходящей массы и знак изменения массы при записи уравнения движения.

Важно помнить: формула теоремы о центре масс даёт простое и мощное средство анализа, но при применении к реальным задачам всегда проверяйте условия применимости: наличие/отсутствие внешних сил и обмена массы с окружением.