Самоиндукция и индуктивность

Введение: что такое самоиндукция

Самоиндукция - явление возникновения электродвижущей силы в проводнике при изменении тока в этом же проводнике.

Самоиндукция тесно связана с понятием магнитного потока через контур: при изменении тока изменяется магнитное поле и магнитный поток, связанный с контуром, что по закону электромагнитной индукции приводит к появлению ЭДС, направленной так, чтобы препятствовать изменению тока. Общая запись закона электромагнитной индукции для индуцированной ЭДС даётся формулой $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$.

Магнитный поток - скалярная величина, равная интегралу нормальной составляющей вектора магнитной индукции по площадке, через которую проходит поле.

Для простых случаев, когда поле почти однородно, магнитный поток может быть записан как $\Phi = B A \cos\theta$. Понимание связи между током, магнитным полем и потоком — ключ к описанию самоиндукции.

Определение индуктивности

Индуктивность - физическая величина, равная отношению магнитного потока, связанного с контуром, к току, протекающему по этому контуру.

Формально индуктивность L определяется соотношением $L = \dfrac{\Phi}{I}$. Эта величина зависит только от геометрии контура и свойств среды (магнитной проницаемости). Единица индуктивности в СИ — генри (Гн), где 1 Гн = 1 В·с/А.

Когда ток в контуре изменяется, возникает ЭДС самоиндукции, описываемая выражением $\varepsilon = -L\,\dfrac{dI}{dt}$. Знак «минус» отражает закон Ленца: индукционная ЭДС стремится препятствовать изменению тока, вызвавшего её.

Индуктивность можно рассматривать как меру «инертности» электрического тока по отношению к его изменениям: большие значения L затрудняют быстрые изменения тока.

Индуктивность конкретных элементов: соленоид и катушка

Для длинного соленоида (или катушки с плотной намоткой) индуктивность выражается через число витков, площадь поперечного сечения и длину корпуса. Формула для такой катушки имеет вид $L = \mu_0\mu_r\dfrac{N^2 A}{l}$.

В формуле участвует магнитная проницаемость среды внутри катушки. Для пустого (вакуумного) сердечника — это μ_0, для ферромагнитных сердечников учитывается относительная проницаемость μ_r. Именно изменение сердечника или геометрии катушки сильно меняет её индуктивность.

Также полезно знать соотношение между индукцией магнитного поля внутри соленоида и протекающим по нему током: $B = \mu_0\mu_r\dfrac{N}{l}I$. Подставив это в выражение для потока, получают формулу для L, приведённую выше.

Энергия магнитного поля индуктора

При прохождении тока через катушку наработанная энергия запасается в её магнитном поле. Для энергии, запасённой в индуктивности, справедливо соотношение $W = \dfrac{1}{2}L I^2$.

Эту же энергию можно представить через плотность энергии магнитного поля в объёме: $w = \dfrac{B^2}{2\mu}$, где μ обозначает магнитную проницаемость среды. Интегрирование плотности по объёму даёт полную энергию, выражение которой для катушки приводит к формуле $W = \dfrac{1}{2}L I^2$.

Знание энергии важно при анализе переходных процессов и при оценке выделяющейся или запасаемой энергии при размыкании и замыкании цепей с индуктивностью.

Переходные процессы в цепях с индуктивностью (цепь RL)

В простейшей цепи с последовательно соединёнными индуктивностью L и сопротивлением R уравнение для тока получается из второго закона Кирхгофа: $L\,\dfrac{dI}{dt} + R I = \mathcal{E}(t)$.

Характерный временной масштаб таких процессов задаётся постоянной времени, которая равна отношению индуктивности к сопротивлению: $\tau=\dfrac{L}{R}$. Она показывает, за какое время ток устанавливается (или убывает) примерно до ~63% от конечного значения.

При подаче ступенчатого постоянного напряжения решение уравнения даёт экспонентное нарастание тока: $I(t)=I_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, где $I_{\infty}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$ — установившееся (стационарное) значение тока. При размыкании цепи ток экспоненциально затухает по закону $I(t)=I_0 e^{-t/\tau}$.

Важно отметить, что при быстрых изменениях тока ЭДС самоиндукции может быть значительной по модулю: $|\varepsilon|=L\left|\dfrac{dI}{dt}\right|$. Это объясняет искрение при размыкании цепей и необходимость использования искрогасителей и варисторов в практических схемах.

Взаимная индуктивность и связные катушки

Если магнитный поток одной катушки переплетает витки другой, изменения тока в первой индуцируют ЭДС во второй. Величина связи характеризуется взаимной индуктивностью M и записывается через поток: $\Phi_2 = M I_1$.

Взаимная индуктивность зависит от геометрии, взаимного расположения катушек и магнитной проницаемости среды. В идеальном случае близко расположенных катушек M может быть близко к величине индуктивности каждой из них, при сильной связи коэффициент связи приближается к единице.

Практические аспекты, измерения и применение

Индуктивные элементы широко применяются: дроссели в цепях питания, трансформаторы (основываются на взаимной индуктивности), катушки зажигания, фильтры и накопители энергии. Их параметры подбирают исходя из требуемой индуктивности, допустимой потери энергии и размеров.

Измеряют индуктивность с помощью мостов переменного тока, импульсных методов (анализ переходного процесса при заданном R) или специализированных LCR-метров. Анализ переходных процессов по законам для цепи RL позволяет экспериментально определять L по измеренным постоянным времени: $\tau=\dfrac{L}{R}$.

Краткие выводы и рекомендации для школьника

Самоиндукция проявляется всякий раз, когда ток в катушке меняется: ЭДС самоиндукции стремится противодействовать этому изменению. Основные формулы темы — это закон электромагнитной индукции $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, определение индуктивности $L = \dfrac{\Phi}{I}$ и связь ЭДС самоиндукции с изменением тока $\varepsilon = -L\,\dfrac{dI}{dt}$.

Практические навыки: уметь записывать уравнение для цепи RL $L\,\dfrac{dI}{dt} + R I = \mathcal{E}(t)$, находить постоянную времени $\tau=\dfrac{L}{R}$, а также рассчитывать запасённую энергию $W = \dfrac{1}{2}L I^2$. Для углубления полезно экспериментально изучить переходные процессы на макетной плате и измерить L различными методами.

При решении задач всегда помните о знаке в законе Ленца и анализируйте направление индуцированной ЭДС и её влияние на изменение тока. Иллюстрации полей и контуров облегчают понимание, при необходимости вставьте схемы и изображения {IMAGE_0} {IMAGE_1}.