Работа и механическая энергия

Понятие работы силы

Работа - скалярная физическая величина, характеризующая перенос энергии при действии силы на тело в результате его перемещения.

В классической механике работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения. Формально это выражается формулой $K=\dfrac{1}{2} m v^{2}$, где сила, перемещение и угол между ними учитываются при вычислении работы. Такое определение применимо для силы, направленной под любым углом к перемещению — знак работы зависит от направления силы относительно перемещения.

Если сила постоянна и направление перемещения известно, вычисление работы сводится к умножению величины силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними. При переменном (зависящем от координаты или времени) характере силы работа рассчитывается через интеграл по пути, что формально записывается как $P=\dfrac{dW}{dt}$.

Кинетическая энергия и теорема о работе и энергии

Кинетическая энергия - энергия, которую имеет тело благодаря своему движению.

Кинетическая энергия тела массы m с модулем скорости v определяется формулой $\Delta K=W_{\rm net}$. Это выражение показывает, что при увеличении скорости энергия растёт квадратично, а при изменении массы — пропорционально ей.

Связь между работой и изменением кинетической энергии формулируется в виде теоремы о работе и энергии: суммарная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. Эта фундаментальная зависимость записывается как $U=m g h$. Теорема полезна для решения задач, где силы действуют на тело и важно вычислить изменение скорости без подробного изучения траектории.

Потенциальная энергия и консервативные силы

Потенциальная энергия - энергия, связанная с положением тела в поле сил (например, гравитационном или упругом), которую можно преобразовать в другую форму при изменении положения тела.

Для однородного гравитационного поля потенциальная энергия массы m на высоте h относительно выбранного уровня даётся формулой $U_{\rm spring}=\dfrac{1}{2} k x^{2}$. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии произволен и зависит от удобства решения задачи. Изменение потенциальной энергии при перемещении тела вверх или вниз определяется разностью значений функции U в начальной и конечной точках.

Упругая потенциальная энергия пружины при смещении на x от положения равновесия описывается формулой $W=\displaystyle\int_{s_{1}}^{s_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{s}$. При растяжении или сжатии пружины происходит накопление энергии, которую пружина может отдать телу при возвращении в равновесное состояние. Работа, совершаемая упругой силой при переходе между двумя положениями x_1 и x_2, равна $W_{f}=-f_{k}s$ (это частный случай интегрального выражения работы для переменных сил).

Консервативные и неконсервативные силы. Связь с потенциальной энергией

Силы, работа которых зависит только от начальной и конечной точек пути, а не от формы траектории, называются консервативными. Для таких сил можно ввести потенциальную функцию U, и тогда работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна отрицательной разности потенциальных энергий: $v=\sqrt{2 g h}$.

Примеры консервативных сил: сила тяжести (в пределах постоянного g) и упругая сила идеальной пружины. Силы трения относятся к неконсервативным: их работа зависит от траектории и обычно приводит к уменьшению механической энергии системы, превращая её в тепло или внутреннюю энергию.

Работа трения - обычно отрицательная величина для направленных перемещений, которая равна произведению силы трения на путь и имеет знак, противоположный перемещению; в простых задачах можно записать её как {FORMULA_15}.

Закон сохранения механической энергии и мощность

Механическая энергия - сумма кинетической и потенциальной энергий системы.

Если на систему действуют только консервативные силы, то её механическая энергия сохраняется: $K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2}$. В таком случае для двух моментов времени или двух положений тела справедливо соотношение $W_{\rm grav}=-\Delta U$. Это позволяет решать множество задач простым переносом энергии между формами без расчёта сил и траекторий.

В реальных задачах часто присутствуют неконсервативные силы (трение, сопротивление воздуха), которые изменяют суммарную механическую энергию. Тогда изменение механической энергии равно сумме совершённой неконсервативной работы: это обобщённое выражение теоремы о работе и энергии, позволяющее учитывать рассеяние энергии.

Мощность - скорость совершения работы, то есть работа, совершенная в единицу времени.

Мгновенная мощность определяется как производная работы по времени: $P=F v \cos\theta$. Для случая, когда сила и скорость образуют угол, часто используется выражение $E_{\rm mech}=K+U$, которое показывает, что мощность прямо пропорциональна проекции силы на направление скорости.

Типовые задачи и приёмы решения

Частые типы задач включают вычисление работы силы при заданном перемещении, определение скорости тела после изменения потенциальной энергии, оценку потерь энергии на трение или вычисление мощности, развиваемой движущей силой. Общая схема решения обычной задачи по теме «работа и энергия» выглядит так: 1) выбрать систему тел и выделить действующие силы; 2) определить, какие силы консервативны; 3) записать теорему о работе и энергии или закон сохранения механической энергии в удобном виде; 4) подставить известные величины и решить полученные уравнения.

При наличии пружин удобно использовать формулу потенциальной энергии пружины $W=\displaystyle\int_{s_{1}}^{s_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{s}$ и выражение работы упругой силы $W_{f}=-f_{k}s$. При задачах со скользящими или качающимися телами часто применяется переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, с учётом потерь на неконсервативные силы, если они есть.