Прямолинейная кинематика — базовые понятия

Введение в прямолинейную кинематику

Кинематика изучает движение тел без обращения к причинам этого движения (без рассмотрения сил). В школьной программе первым и наиболее простым случаем является прямолинейное движение — движение вдоль одной прямой. В этом разделе мы введём основные понятия, обозначения и соотношения, которые часто используются при решении задач.

Для описания прямолинейного движения обычно вводят ось координат и отмечают положение движущейся точки числом x. Изменение положения за промежуток времени называют перемещением; оно отличается от пройденного пути, если движение меняет направление.

Перемещение - вектор, направленный из начальной точки положения в конечную, равный разности координат конечной и начальной точек $\Delta x = x_2 - x_1$

Положение (координата) - числовая характеристика положения точки на выбранной оси, обычно задаётся функцией времени $x = x(t)$

Кинематические величины: скорость и ускорение

Скорость характеризует, как быстро и в каком направлении меняется положение тела. Для конечного промежутка времени вводят среднюю скорость как отношение перемещения к длительности промежутка. Эта величина может быть положительной или отрицательной в зависимости от направления перемещения по выбранной оси.

Средняя скорость - отношение перемещения к промежутку времени $\bar v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$

Мгновенная скорость определяется как предел средней скорости при стремлении интервала времени к нулю; в математической форме это производная координаты по времени. Мгновенная скорость показывает скорость в конкретный момент времени и может зависеть от t.

Мгновенная скорость - производная координаты по времени $v(t) = \dfrac{dx}{dt}$

Ускорение. Среднее и мгновенное

Аналогично скорости, вводят среднее и мгновенное ускорение. Ускорение характеризует скорость изменения вектора скорости. Если ускорение положительное, скорость увеличивается в положительном направлении оси; если отрицательное — уменьшается.

Среднее ускорение - изменение скорости за промежуток времени, делённое на длительность этого промежутка $\bar a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

Мгновенное ускорение - производная скорости по времени или вторая производная координаты по времени $a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$

Ускорение удобно использовать для описания равноускоренного движения, когда величина ускорения постоянна во времени. Это позволяет получить простые аналитические выражения для скорости и координаты как функций времени.

Равномерное и равноускоренное движение

Равномерное (равномерное прямолинейное) движение — движение с постоянной по модулю и направлению скоростью. Координата при равномерном движении меняется линейно по времени: $x(t) = x_0 + v t$

Равноускоренное движение — движение при постоянном ускорении. Для него получаются классические формулы для скорости и координаты: $v(t) = v_0 + a t$ и $x(t) = x_0 + v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2$.

Также удобна зависимость, связывающая скорости и пройденное перемещение без явного участия времени: $v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0)$

Путь и проекция перемещения, интегральные выражения

Путь — скалярная величина, равная сумме длин траекторий, пройденных за рассматриваемый промежуток. Для прямолинейного движения путь равен интегралу модуля скорости: $s = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$

В простых задачах часто сравнивают путь и модуль перемещения: они совпадают, если движение не меняет направления. Если направление меняется, путь больше или равен модулю перемещения.

Графики движения и их интерпретация {IMAGE_0}

График зависимости координаты x(t) наглядно показывает положение тела в каждый момент времени. Наклон касательной к кривой x(t) в данной точке равен мгновенной скорости (см. $v(t) = \dfrac{dx}{dt}$). График v(t) даёт информацию об ускорении: наклон прямой на графике v(t) равен ускорению.

По графику v(t) можно найти перемещение за промежуток времени как площадь под графиком (с учётом знака). На практике это удобный приём при анализе сложных движений, когда скорость меняется во времени.

Практические примеры и типовые приёмы решения задач

При решении задач важно чётко обозначать систему отсчёта, положительное направление оси и начальные условия (координату и скорость в начальный момент). Для равноускоренных движений часто удобен набор из трёх уравнений: $v(t) = v_0 + a t$, $x(t) = x_0 + v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2$ и $v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0)$.

Заключение

Прямолинейная кинематика даёт набор простых и универсальных инструментов для описания движения по прямой: понятия координаты, перемещения, скорости и ускорения, а также базовые кинематические уравнения. Владение этими понятиями и умение оперировать формулами позволяет решать широкий класс задач в школьной физике.

Далее в курсе эти идеи расширяются на двумерные и трёхмерные случаи, а также используются при изучении динамики, где причинами изменения скорости служат силы.