Практические приёмы измерений

Общие принципы измерений

Любое измерение — это процесс получения числовой оценки некоторой физической величины. В практике важно отличать точность и прецизионность: точность характеризует близость результата к истинному значению, а прецизионность — повторяемость результатов. Для оценки центральной тенденции ряда измерений обычно вычисляют среднее значение и характеристики разброса результатов.

Если выполнено несколько независимых измерений одной величины, за оценку центрального значения принимают среднее арифметическое, которое определяется формулой $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$. Важной мерой разброса выступает выборочное стандартное отклонение, оно оценивает характерные отклонения отдельного измерения от среднего и записывается как $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$. Для оценки точности среднего результата используется стандартная ошибка среднего, дающая представление о том, насколько надёжно оценено истинное значение: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.

Измерение - получение числового значения физической величины с указанием условия измерения и неопределённости.

Погрешность - разность между измеренным значением и истинным (или принято за точное) значением физической величины.

Погрешности: типы и оценки

Погрешности принято разделять на систематические и случайные. Систематические погрешности сдвигают все результаты в одну сторону — их надо находить и компенсировать (или учитывать при калибровке). Случайные погрешности приводят к разбросу результатов и оцениваются статистическими методами, описанными выше.

Систематическая погрешность - компонент погрешности, возникающий при измерениях одинаковым образом и приводящий к смещению результатов.

Случайная погрешность - компонент погрешности, меняющийся случайным образом от измерения к измерению и приводящий к разбросу значений.

Абсолютная погрешность измерения определяется как модуль разности между измеренным и истинным значениями: $\Delta x = |x_{\text{meas}}-x_{\text{true}}|$. Относительная погрешность даёт представление о величине ошибки по отношению к самому измеряемому значению и определяется как $\text{relative error} = \dfrac{\Delta x}{|x_{\text{true}}|}$. Для наглядности часто приводят процентную погрешность: $\text{percent error} = \dfrac{\Delta x}{|x_{\text{true}}|}\times 100\%$.

Правила суммирования погрешностей и погрешности приборов

При комбинировании измерений для функций нескольких переменных используют правила распространения неопределённостей. Для суммы или разности двух независимых величин суммарная погрешность оценивается как корень из суммы квадратов погрешностей: $\Delta z = \sqrt{(\Delta a)^2+(\Delta b)^2}$. Для произведения или частного относительная погрешность результата выражается через относительные погрешности исходных величин: $\dfrac{\Delta z}{|z|}=\sqrt{\left(\dfrac{\Delta a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta b}{b}\right)^2}$.

Если функция зависит от многих переменных, линейная аппроксимация даёт оценку комбинированной погрешности через суммы модулей частных производных: $\Delta f \approx \sum_i \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta x_i$. Такой подход полезен в лабораторных задачах при вычислении ошибок получаемых результатов.

Разрешающая способность прибора - наименьший шаг шкалы, который прибор может надёжно различать; на практике неопределённость отсчёта часто принимают около половины деления шкалы: $\Delta = \pm\dfrac{1}{2}\delta$.

Механические измерительные приборы: штангенциркуль и микрометр

При работе со штангенциркулем важна правильная считываемость показаний: результат состоит из целых делений основной шкалы и отсчёта по нониусу. Общая запись длины может быть представлена как сумма основной части и значения нониуса, что удобно записывать схематически как $L = M + v\cdot p$. Практически необходимо учитывать прогибы, загрязнения и намагниченность, а также проверять нулевое показание.

Микрометр даёт более точные измерения за счёт резьбового механизма и циферблата барабана. Итоговый отсчёт состоит из показания основной шкалы и деления барабана; типичная формула для записи результата микрометра может быть представлена как $L = S + \dfrac{t}{100}$. Важно учитывать люфты и смазку, а также калибровать прибор эталоном.

Нониус (верньер) - дополнительная шкала, позволяющая повысить точность отсчёта до долей деления основной шкалы.

Электрические измерения: приборы и ошибки

При измерениях электрических величин важна схема включения приборов. Закон Ома связывает напряжение, ток и сопротивление: $V = I\,R$. Для расчётов эквивалентного сопротивления при последовательном и параллельном соединениях используют формулы $R_{\text{eq}} = R_1+R_2$ и $\dfrac{1}{R_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$ соответственно.

Измеряя мощность в цепи, применяют формулу $P = V\,I$. При подключении вольтметра и амперметра необходимо учитывать их внутренние сопротивления: вольтметр должен иметь большое входное сопротивление, амперметр — малое. Эффект присоединения прибора к цепи можно оценить на примере делителя напряжения: измеряемое напряжение может отличаться от истинного по формуле $V_{\text{meas}} = V_{\text{true}}\dfrac{R_{\text{in}}}{R_{\text{in}}+R_s}$.

Внутреннее сопротивление - сопротивление, которое оказывает сам измерительный прибор потоку тока и влияет на показания при включении в цепь.

Обработка результатов и калибровка

После получения данных проводится обработка: вычисление среднего, оценка разброса и формирование окончательной записи результата в виде "значение ± неопределённость" с указанием уровня доверия или метода оценки. Часто результаты согласуют с калибровочной характеристикой прибора, которую можно аппроксимировать линейной моделью вида $y = a x + b$ и подобрать параметры по методам наименьших квадратов.

Калибровка и поверка прибора позволяют выявить систематическую составляющую ошибки и, при необходимости, скорректировать показания. Оценка итоговой неопределённости комбинирует случайные и систематические вклады; суммарную неопределённость при учёте нескольких независимых источников иногда оценивают по сумме квадратов или по линейной аппроксимации, в зависимости от характера ошибок и требуемой строгости анализа.

Калибровка - процедура установления соответствия показаний прибора эталонным значениям с целью определения и, по возможности, устранения систематической погрешности.