Потенциал и разность потенциалов

Основное представление о потенциале

Потенциал - скалярная величина, равная потенциальной энергии единичного положительного пробного заряда в данной точке электрического поля.

В математической форме связь между потенциальной энергией и потенциалом выражается через отношение величин: $V=\dfrac{U}{q}$. Это удобное представление, поскольку потенциал не зависит от величины пробного заряда и описывает свойства поля как такового.

Потенциал часто выбирают с нулевой точкой в бесконечности: значение потенциала в точке на бесконечности принимают равным нулю. Это упрощает расчёты для точечных зарядов и систем зарядов, где потенциал убывает с удалением от источников.

Разность потенциалов и её физический смысл

Разность потенциалов (напряжение) - работа сил электрического поля при перемещении единичного положительного пробного заряда между двумя точками, взятая с отрицательным знаком; это скалярная величина между двумя точками.

Формально разность потенциалов между точками a и b связана с полем электрической индукции интегралом вдоль пути: $\Delta V=V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$. Это выражение показывает, что разность потенциалов не зависит от пути, если поле является потенциальным (статическое электрическое поле).

Если вместо интеграла интересует работа, совершаемая полем при перемещении заряда q из точки a в b, то выполняется соотношение $W_{\mathbf{a}\to\mathbf{b}}=q\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=q\bigl(V(\mathbf{a})-V(\mathbf{b})\bigr)$. Отсюда видно, что положительная разность потенциалов означает уменьшение потенциальной энергии положительного заряда при движении в направлении уменьшения потенциала.

Потенциал точечного заряда и принцип суперпозиции

Для наглядного примера рассмотрим простейший источник поля — точечный заряд q. Потенциал на расстоянии r от такого заряда равен: $V(\mathbf{r})=k\dfrac{q}{r},\quad\text{где}\;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. Здесь константа k равна $V(\mathbf{r})=k\dfrac{q}{r},\quad\text{где}\;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, но для краткости в учебных задачах обычно используют обозначение $V(\mathbf{r})=k\dfrac{q}{r},\quad\text{где}\;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ через численное значение $V(\mathbf{r})=k\dfrac{q}{r},\quad\text{где}\;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ (в системе СИ $V(\mathbf{r})=k\dfrac{q}{r},\quad\text{где}\;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$).

Если система состоит из нескольких точечных зарядов, суммарный потенциал в точке равен сумме вкладов от каждого заряда (принцип суперпозиции): $V(\mathbf{r})=\displaystyle\sum_i k\dfrac{q_i}{r_i}$. Это следует из линейности уравнений для электростатического потенциала и удобно при разложении сложных задач на простейшие вкладки.

Практическое следствие: при удалении от системы зарядов потенциал обычно убывает и стремится к нулю на бесконечности (при выборе нуля на бесконечности), что позволяет оценивать поведение поля на больших расстояниях.

Связь между полем и потенциалом

Градиент потенциала - векторная величина, характеризующая пространственную скорость изменения потенциала; она связана с напряжённостью электрического поля.

Ключевое соотношение, связывающее вектор напряжённости поля и скалярный потенциал, записывается в форме: $\mathbf{E}=-\nabla V$. Это означает, что поле направлено в сторону наибольшего уменьшения потенциала и что потенциал полностью определяет поле в статическом случае.

В декартовых координатах связь между компонентами поля и частными производными потенциала выглядит как набор формул: $E_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x},\quad E_y=-\dfrac{\partial V}{\partial y},\quad E_z=-\dfrac{\partial V}{\partial z}$. Эти выражения полезны при решении пограничных задач и при анализе направления поля вблизи границ и поверхностей с зарядом.

Потенциальная энергия и её изменение

Потенциальная энергия - энергия взаимодействия заряда с электрическим полем; для заряда q в точке с потенциалом V её значение равно: $U=qV$.

Изменение потенциальной энергии при перемещении заряда из точки a в точку b связано с разностью потенциалов: ΔU = q ΔV. Работа, совершаемая полем, равна отрицательному изменению потенциальной энергии.

Если речь идёт о внешней работе, совершаемой при медленном (квазистатическом) перемещении заряда против поля, то эта работа равна увеличению потенциальной энергии и соответственно выражается через разность потенциалов тем же образом: $W=q''\,\Delta V$.

Примеры расчётов: точечный заряд и однородное поле

Эквипотенциальные поверхности и свойства поля

Эквипотенциальная поверхность - геометрическое место точек, в которых потенциал имеет одно и то же значение.

По определению, на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов между любыми двумя точками равна нулю. Это означает, что работа электрического поля по перемещению заряда вдоль такой поверхности равна нулю, а направление поля всегда перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

В области близко расположенных зарядов эквипотенциальные поверхности дают наглядное представление о конфигурации поля: вблизи положительных точечных зарядов поверхности сферические (при отсутствии других зарядов), а линии поля радиально направлены наружу.

Потенциал в электрических цепях и измерение напряжения

В электротехнике разность потенциалов между двумя точками цепи называется напряжением и измеряется в вольтах. Вольт определяется как работа в джоулях, совершённая при перемещении единичного заряда между этими точками.

Практически напряжение измеряют вольтметром, подключая его параллельно между точками цепи. В идеальном случае вольтметр имеет бесконечное сопротивление и не влияет на схему; в реальности сопротивление очень велико, чтобы минимизировать искажение измеряемого напряжения.

Для конденсатора справедливо соотношение между зарядом и напряжением: $V=\dfrac{Q}{C}$. Энергия, запасённая в электрическом поле конденсатора, выражается формулой: $U=\dfrac{1}{2}CV^{2}=\dfrac{Q^{2}}{2C}=\dfrac{1}{2}QV$.

Практические замечания и задачи

При решении задач важно внимательно выбирать ноль потенциала — это влияет на численные значения, но не на физические различия потенциалов. Часто выбирают нулевую точку на бесконечности или на проводящем корпусе в задачах с симметрией.

Решение задач обычно сводится к применению принципа суперпозиции, интегральных выражений для разности потенциалов и связей с компонентами поля через частные производные. Важно также помнить размерности: потенциал измеряется в вольтах, энергия в джоулях, напряжённость в вольтах на метр (или ньютон на кулон).