Погрешности и оценка точности измерений

Введение: зачем анализировать погрешности

Любое физическое измерение имеет ограниченную точность. Понимание природы погрешностей и умение их оценивать необходимо для правильной интерпретации результатов и для принятия решений в эксперименте и при обработке данных. В этом разделе мы формализуем основные подходы к описанию и оценке погрешностей, чтобы применять их на практике.

Целью измерений является получение числа и оценки его достоверности. Грубо говоря, результат измерения состоит из значения и информации о том, насколько мы можем доверять этому значению: это и есть оценка погрешности. Оценка может быть качественной и количественной, с применением статистических методов и правил округления.

Погрешность - расхождение между результатом измерения и истинным значением величины, вызванное ограничениями метода, прибора или внешних факторов.

Основные понятия: абсолютная и относительная погрешности

Часто используют два базовых понятия погрешности: абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность показывает, на сколько в единицах измеряемой величины может отличаться результат от истинного значения. Её математическая запись задаётся формулой $\Delta x = x_{\text{measured}} - x_{\text{true}}$.

Относительная погрешность показывает отношение абсолютной погрешности к величине результата и часто выражается в долях или процентах. Относительная погрешность определяется как $\varepsilon = \dfrac{\Delta x}{x_{\text{true}}}$, а процентная запись — как $\varepsilon_{\%} = \varepsilon \times 100\%$.

Абсолютная погрешность - числовая оценка возможного отклонения результата измерения от истинного значения в тех же единицах, что и измеряемая величина.

Систематические и случайные погрешности

Погрешности по природе происхождения делят на систематические и случайные. Систематические погрешности постоянны или воспроизводимы при повторных измерениях при одних и тех же условиях; их нужно выявлять и по возможности устранять. В тексте мы будем ссылаться на совокупную систематическую погрешность при оценке общей точности.

Случайная погрешность - компонент погрешности, изменяющийся от измерения к измерению непредсказуемо; её оценивают статистическими методами.

Для комбинирования независимых вкладыв систематической и случайной природы используют правило суммирования в квадратах, то есть общая оценка непроверенных вкладов определяется как $\sigma_{\text{total}} = \sqrt{\sigma_{\text{sys}}^2 + \sigma_{\text{rand}}^2}$.

Статистическая обработка серии измерений

Если величину измеряли n раз, удобной характеристикой центрального значения является среднее арифметическое, которое вычисляется как $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$. Среднее даёт устойчивую оценку положения распределения результатов и сглаживает случайные колебания.

Разброс измерений характеризуют стандартным отклонением последовательности, которое для выборки вычисляется по формуле $s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$. Стандартное отклонение показывает типичный разброс отдельных измерений вокруг среднего.

Погрешность среднего (стандартная ошибка среднего) оценивается как $s_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ и показывает, насколько надёжно среднее по серии приближает истинное значение величины.

Оценки доверия и границы значимости

Для указания того, на каком уровне доверия приводится оценка, используют доверительные интервалы. Для среднего значения при небольшом числе измерений применяют распределение Стьюдента и записывают результат в виде $\bar{x} \pm t_{n-1}\, s_{\bar{x}}$, где коэффициент зависи от уровня доверия и числа степеней свободы.

Доверительный интервал показывает диапазон, в котором с заданной вероятностью (например, 95%) находится истинное значение. Выбор уровня доверия влияет на ширину интервала: больший уровень доверия даёт более широкий интервал.

Правила распространения погрешностей

При вычислении зависимых величин важно уметь оценивать, как погрешности исходных параметров влияют на погрешность результата. Для непрерывной функции нескольких переменных общий закон распространения погрешностей даётся выражением $\sigma_f = \sqrt{\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\sigma_x\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\sigma_y\right)^2 + \cdots }$, где суммируются квадраты вкладов частных производных, умноженных на погрешности соответствующих аргументов.

Для простых случаев существуют упрощённые правила. Для суммы и разности независимых величин погрешность результата при сложении оценивается как $\sigma_f = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2}$. Для произведений и частных удобно работать с относительными погрешностями: относительная погрешность результата примерно равна квадратному корню суммы квадратов относительных погрешностей множителей, что формализуют как $\dfrac{\sigma_f}{|f|} = \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{\sigma_y}{y}\right)^2 + \cdots }$.

Комбинация систематических и случайных вкладов

Если у измерения известны отдельные вклады систематической и случайной природы, их объединяют квадратичным суммированием для получения общей оценки неопределённости, как было приведено ранее: $\sigma_{\text{total}} = \sqrt{\sigma_{\text{sys}}^2 + \sigma_{\text{rand}}^2}$. Это даёт консервативную, но удобную для отчётности оценку общей ошибки.

Важно различать корректировку и оценку: систематическую погрешность следует по возможности ликвидировать (например, путем калибровки прибора), а остаточную систематическую составляющую включать в итоговую неопределённость вместе со статистической составляющей.

Практические приёмы уменьшения погрешностей

Для уменьшения случайной составляющей используют увеличение числа повторов измерений и применение статистических методов обработки. Увеличение n уменьшает стандартную ошибку среднего по закону, выраженному в $s_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, поэтому практика показывает смысл многократных измерений.

Для борьбы с систематическими ошибками применяют калибровку, контроль условий эксперимента, использование эталонов и проверку результатов разными методами. Иногда важна также оценка и учет влияния внешних факторов и условий.

Калибровка - процесс сопоставления показаний прибора с эталонными значениями для выявления и устранения систематических отклонений.

Оформление результатов измерений и правила округления

При представлении результатов измерения необходимо указывать значение величины и её неопределённость. Обычно неопределённость приводят с одним значащим числом, а основное значение округляют с учётом этой неопределённости. Конкретные правила зависят от стандарта и требований задачи.

Если используются комбинированные оценки и доверительные интервалы, их следует явно указывать вместе с уровнем доверия. Пример записи результата: значение ± неопределённость (уровень доверия). При оформлении таблиц и графиков указывают размер неопределённости по осям и при необходимости помещают изображение распределения погрешностей {IMAGE_0}.

Контрольные примеры и рекомендации

Рекомендуется при планировании опыта заранее оценить ожидаемые погрешности и источники ошибок. Это позволяет оптимально распределить усилия по улучшению точности там, где это даст наибольший эффект в соответствии с законом распространения погрешностей, например по $\sigma_f = \sqrt{\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\sigma_x\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\sigma_y\right)^2 + \cdots }$ и $\dfrac{\sigma_f}{|f|} = \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{\sigma_y}{y}\right)^2 + \cdots }$.