Относительность движения и системы отсчёта

Понятие системы отсчёта

Для описания движения физических тел необходимо задать, относительно чего мы измеряем положение, скорость и время. Набор инструментов и соглашений, который включает в себя выбор начальной точки (начала координат), систему осей, эталонный хронометр и правила измерения, называется системой отсчёта.

Система отсчёта - совокупность физического тела (или множества тел), выбранной системы координат и средств времени, относительно которых описывается положение и движение других тел.

Система отсчёта задаёт, какие величины считаются положительными, в какую сторону считаем отсчёт времени и как сопоставляем показания разных приборов. В школьном курсе обычно обсуждают как инерциальные, так и неинерциальные системы отсчёта; различие важно при формулировке законов Ньютона.

Инерциальная система отсчёта - система отсчёта, в которой свободные тела (на которые не действуют силы) движутся равномерно и прямолинейно, то есть для которых выполняется первый закон Ньютона.

Относительность положения, пути и перемещения

Положение точки в пространстве описывается в системе координат вектором радиус-вектора. Перемещение между двумя положениями — это разность радиус-векторов начального и конечного положения. Формула для векторного перемещения записывается как $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$.

Важно отличать перемещение (вектор) от пути (скалярной величины). Путь определяется как суммарная длина траектории, пройденной телом, и для расчёта пути используют интеграл по модулю скорости: $s=\displaystyle\int |\vec v|\,\mathrm{d}t$.

Перемещение - вектор, равный разности радиус-векторов конечного и начального положения тела в выбранной системе отсчёта.

Оба понятия — путь и перемещение — зависят от системы отсчёта: траектория в одной системе может быть прямой, а в другой — кривой, и соответственно путь и перемещение будут другими.

Относительность скорости и сложение скоростей

Скорость — это производная радиус-вектора по времени в данной системе отсчёта. Скорость одного тела относительно другого равна разности их скоростей в одной и той же системе отсчёта; это выражается формулой $\vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B$.

При переходе от одной системы отсчёта к другой скорости складываются по правилу векторного сложения: скорость тела в лабораторной (иначе — «неподвижной») системе равна сумме его скорости в подвижной системе и скорости самой подвижной системы относительно лаборатории. Это правило записывают как $\vec v=\vec v''+\vec V$.

Сложение скоростей часто удобно представлять векторно — при этом направления важны, и если движения имеют противоположные направления, в выражениях появляются знаки «минус» перед соответствующими составляющими.

Преобразования Галилея

В классической механике переход между двумя системами отсчёта, которые движутся со взаимно постоянной скоростью, описывается преобразованиями Галилея. Для одномерного случая координаты и время связаны простыми соотношениями; для координаты по оси, параллельной направлению движения, формула выглядит как $x''=x-Vt$.

Координаты, перпендикулярные направлению относительного движения, не меняются: $y''=y$. Для классической (ньютоновой) механики принято, что абсолютного времени нет, поэтому время во всех рассматриваемых системах одинаково: $t''=t$.

Дифференцируя преобразования координат по времени, получают правило трансформации скоростей между системами: скорость объекта в движущейся системе равна скорости в неподвижной системе минус скорость самой подвижной системы, то есть $\vec v''=\vec v-\vec V$.

Практические примеры и задачи

Рассмотрим типичную задачу: поезд движется относительно земли с некоторой скоростью, а человек в вагоне идёт в направлении движения поезда. Чтобы найти скорость человека относительно земли, применяют правило сложения скоростей: $V_{\text{земля}}=V_{\text{поезд}}+V_{\text{человек}}$.

Если подставить численные значения для скорости поезда и скорости шага человека, вычисление проводится в несколько шагов. Пусть скорость поезда равна $V_{\text{поезд}}=20\ \mathrm{м/s}$, скорость человека относительно вагона равна $V_{\text{человек}}=1.5\ \mathrm{м/s}$. Тогда скорость человека относительно земли равна $V_{\text{земля}}=21.5\ \mathrm{м/s}$.

Другой частый пример — преобразование координат точки, находящейся в движущейся системе. Пусть в лабораторной системе точка находится в положении, заданном числом $x=100\ \mathrm{м}$, движущаяся система движется со скоростью $V=10\ \mathrm{м/s}$, и мы рассматриваем момент времени $t=5\ \mathrm{с}$. Тогда координата точки в движущейся системе найдётся по формуле $x''=x-Vt$ и при подстановке чисел даёт $x''=50\ \mathrm{м}$.

Важно помнить, что все эти рассуждения справедливы в рамках классической механики и инерциальных систем отсчёта. При высоких скоростях, близких к скорости света, требуется применять преобразования из теории относительности, которые отличаются от преобразований Галилея.

Относительность движения - принцип, согласно которому движение не имеет абсолютного смысла и описывается лишь относительно выбранной системы отсчёта; значения таких величин, как скорость и путь, зависят от этой системы.

Подведём итог: система отсчёта — это обязательная часть описания любого движения; перемещение и путь зависят от системы; скорости между системами связаны простыми правилами сложения, которые в классической механике формулируются в виде преобразований Галилея. При решении задач важно чётко указывать систему отсчёта и придерживаться выбранных положений о положительном направлении координат и начала отсчёта времени.