Основы измерений: приборы и шкалы

Понятие измерения и единицы

Измерение — это установление числового значения физической величины путём сравнения с принятой единицей. Целью измерений является получение количественной информации о предмете или процессе, пригодной для анализа, контроля и проектирования.

Измерение - процесс получения числа, характеризующего величину по сравнению с выбранной единицей.

Единицы физических величин стандартизованы (например СИ) и допускают представление результатов в удобной форме. При описании измерений важно различать измеряемую величину, единицу измерения и числовое значение, получаемое в результате наблюдения.

Результат измерения обычно записывают как число и единицу, иногда с указанием погрешности или доверительного интервала.

Погрешности измерений: абсолютная и относительная

При любом измерении неизбежна погрешность — разность между измеренным значением и истинным значением. Абсолютная погрешность определяется как $\Delta x = x_{\text{meas}} - x_{\text{true}}$, где обозначена разность между измеренным и истинным значением.

Абсолютная погрешность - величина, равная разности между измеренным значением и истинным значением величины.

Относительная погрешность показывает относительную долю ошибки по отношению к истинному значению и даётся формулой $\varepsilon = \dfrac{\Delta x}{x_{\text{true}}}$. Она часто выражается в процентах и удобна для сравнения точности разных типов измерений.

Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к истинному (или принятому) значению, часто выражаемое в процентах.

Статистические характеристики измерений

При многократных измерениях важны среднее значение и статистическая оценка разброса результатов. Среднее арифметическое для серии измерений вычисляют по формуле $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.

Чтобы оценить разброс результатов используют стандартное отклонение, формула которого для выборки записывается как $s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$. Эта величина показывает, насколько типично отдельное измерение отличается от среднего.

Для оценки погрешности среднего используют стандартную ошибку среднего, выражаемую как $s_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, где n — число измерений. Эта величина убывает при увеличении числа наблюдений.

Правила распространения погрешностей

Если искомая величина зависит от нескольких измеренных величин, нужно учитывать, как их погрешности влияют на итоговую погрешность. Для суммы или разности независимых ошибок используется правило $\Delta y = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2}$.

В общем случае для функции f(x1,x2,...,xn) оценка погрешности результата вычисляется по формуле распространения ошибок $\Delta f = \sqrt{\sum_i\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i\right)^2}$, где учитываются частные производные по каждому аргументу и соответствующие погрешности исходных величин.

Погрешность измерения - характеристика несовершенства измерительного результата, включающая систематические и случайные составляющие.

Классификация и характеристики приборов

Приборы измерения делят на аналоговые и цифровые, контактные и бесконтактные, стационарные и переносные. Главные метрологические характеристики прибора — погрешность, разрешающая способность, чувствительность и измерительный диапазон.

Разрешающая способность - минимальное изменение измеряемой величины, которое прибор способен явно зарегистрировать.

Чувствительность прибора — отношение изменения выходного сигнала к изменению измеряемой величины. Это можно описать как $k = \dfrac{\Delta \text{output}}{\Delta \text{input}}$. Высокая чувствительность полезна при малых изменениях величины, но может повышать влияние шумов.

Чувствительность - величина, показывающая изменение выходного сигнала прибора при малом изменении измеряемой величины.

Шкалы, калибровка и градуировка

Шкала прибора — это физическое отображение измеряемой величины (деления шкалы, цифровой дисплей и т.п.). Градуировка — нанесение делений, соответствующих известным значениям. Калибровка — процедура установления соотношения между показаниями прибора и истинными значениями, часто аппроксимируемая линейной зависимостью $y = a x + b$.

Калибровка позволяет выявить и компенсировать систематические погрешности (смещение и склонение). После калибровки по известным точкам обычно восстанавливают коэффициенты a и b в уравнении $y = a x + b$.

Калибровка - процесс установки соответствия между показаниями прибора и эталонными значениями измеряемой величины.

Разрешение цифрового прибора обычно определяется как шаг шкалы, который можно выразить формулой $\Delta_{\text{res}} = \dfrac{\text{range}}{N_{\text{steps}}}$, где range — измерительный диапазон, а N_steps — число дискретных шагов (количество уровней цифрового представления).

Практика: выбор прибора и вычисление погрешности

При выборе прибора нужно соотнести требуемую точность, диапазон и разрешение. Для многих задач важен также уровень систематических погрешностей и доступность калибровки.

Практическая оценка итоговой погрешности часто сводится к сумме вклада инструментальной погрешности и статистической оценки разброса при многократных измерениях. При независимых вкладах их объединяют квадратично по формуле типа $\Delta y = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2}$ или общей формуле $\Delta f = \sqrt{\sum_i\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i\right)^2}$ для более сложных зависимостей.

Хорошая практика экспериментатора включает регулярную калибровку, запись условий измерений, оценку случайных и систематических погрешностей, а также выбор прибора с учётом требуемой чувствительности и разрешающей способности.

Иллюстрации и дополнительные замечания

{IMAGE_0}

Схема применения калибровочной прямой и пример погрешностей можно визуализировать на графике: показания прибора по оси y и эталонные значения по оси x, аппроксимация даёт коэффициенты в уравнении $y = a x + b$.

{IMAGE_1}

Короткое резюме: знать тип ошибки (случайная или систематическая), уметь оценить статистические параметры серии измерений ($\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$—$s_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$), применять правила распространения погрешностей ($\Delta y = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2}$, $\Delta f = \sqrt{\sum_i\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i\right)^2}$) и проводить регулярную калибровку приборов ($y = a x + b$).