Оптимальный выстрел (угол и скорость)

Введение: движение тела под углом

При рассмотрении полёта снаряда или мяча под углом к горизонту удобно пользоваться кинематическими уравнениями для проекций движения. Горизонтальную и вертикальную проекции положения в момент времени можно записать через скорость и угол выстрела. Эти уравнения позволяют получить связь между координатами цели и начальными параметрами броска.

Основные уравнения движения по проекциям используются далее при выводе выражений для времени полёта, максимальной высоты и дальности. В тексте ниже уравнения обозначены ссылками на формулы: $x(t)=v\cos\theta\,t$ и $y(t)=v\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}gt^2$.

Снаряд - материальная точка, брошенная или выпущенная под углом к горизонту при пренебрежении сопротивлением воздуха.

Классические характеристики полёта

Вычисление времени полёта, дальности и максимальной высоты выполняется через начальную скорость и угол. В явном виде формулы для этих величин приведены как $T=\dfrac{2v\sin\theta}{g}$, $R=\dfrac{v^2\sin2\theta}{g}$ и $H=\dfrac{v^2\sin^2\theta}{2g}$ соответственно. Эти выражения полезны, когда известны скорость и угол, и нужно предсказать траекторию.

Важно понимать ограничения модели: пренебрежение сопротивлением воздуха и однородность поля тяжести. В реальной задаче сопротивление может смещать оптимум в сторону больших углов и скоростей, но на школьном уровне эти поправки обычно не рассматривают.

Дальность - горизонтальная проекция точки, в которой снаряд возвращается на ту же высоту, с которой был выпущен.

Постановка оптимизационной задачи

Частая практическая задача: по известным координатам цели (горизонтальная дистанция и относительная высота) найти минимальную начальную скорость и соответствующий угол, при которых попадание возможно. Пусть координаты цели равны (x, y), где x > 0 — горизонтальная дистанция, y — высота цели относительно точки выстрела. Для связи этих величин с начальными параметрами удобно исключить время из уравнений движения; это даёт уравнение траектории, которое в тексте обозначено как $y=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$.

Из этого уравнения можно явно выразить квадрат скорости через угол. Получаем формулу для v^2 в виде $v^2=\dfrac{g\,x^2}{2\cos^2\theta\,(x\tan\theta-y)}$. Это выражение показывает, что для фиксированных x и y значение v^2 зависит от угла выстрела и, соответственно, возможность минимизации скорости требует поиска экстремума этой функции по углу.

Угол возвышения - угол между вектором начальной скорости и горизонталью, обозначаемый в тексте как θ.

Приведение к удобной форме и метод минимума

Для упрощения оптимизации вводят замену u = tanθ. После подстановки получаем выражение для v^2 через u, представленное как $u=\tan\theta$. Это позволяет свести задачу к минимизации простой рациональной функции от одной переменной u.

Условие экстремума получаем из равенства производной нулю. Формально это можно записать как $\displaystyle\frac{d}{du}\left(\dfrac{1+u^2}{xu-y}\right)=0$. Развёртывание числителя производной даёт алгебраическое уравнение второго порядка относительно u, которое в тексте обозначено как $2u(xu-y)-x(1+u^2)=0$ и затем приводится к каноническому виду $xu^2-2yu-x=0$.

Решение и интерпретация

Квадратное уравнение даёт два корня для u = tanθ, общий вид решения представлен как $u=\dfrac{y\pm\sqrt{y^2+x^2}}{x}$. Физический выбор требует положительного значения тангенса для обычной задачи попадания вперёд и вверх, поэтому берут корень с плюсом. В итоге оптимальный угол задаётся формулой $\displaystyle\tan\theta_{\mathrm{opt}}=\dfrac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}$.

Подставляя оптимальное значение угла обратно в выражение для v^2, получают компактную формулу для минимально необходимой квадратной скорости, которая записана как $v_{\min}^2=g\bigl(\sqrt{x^2+y^2}+y\bigr)$. Отсюда минимальная скорость равна $v_{\min}=\sqrt{g\bigl(\sqrt{x^2+y^2}+y\bigr)}$. Эти простые выражения удобны для быстрой оценки требуемой энергии выстрела в зависимости от геометрии задачи.

Минимальная начальная скорость - наименьшая по модулю скорость, при которой снаряд, брошенный под некоторым углом, достигает заданной точки (x, y).

Особые случаи и физические проверки

Если цель находится на той же высоте, то y = 0. Подстановка этого значения в формулу для оптимального тангенса даёт частный случай: $\displaystyle\tan\theta_{\mathrm{opt}}=1$ и угол равен $\displaystyle\theta_{\mathrm{opt}}=45^\circ$. Это соответствует известному результату, что при фиксированной скорости дальность максимальна при угле 45 градусов.

Для того же случая выражение для минимальной скорости упрощается до $v_{\min}^2=gx$, что согласуется с классической формулой дальности $R=\dfrac{v^2\sin2\theta}{g}$ при максимуме по углу. Это служит проверкой согласованности вывода.

Примеры

Практические замечания

Вычисления, приведённые выше, корректны при отсутствии сопротивления воздуха и при том, что цель лежит в доступной области (выражение под знаком в знаменателе не обращается в ноль и получаемые скорости реальны). Если задача включает сопротивление воздуха или аэродинамику, оптимальные значения могут существенно отличаться и требуют численного моделирования.

Также полезно помнить, что для наведения в реальных системах часто важны не только минимальная скорость, но и допустимые угловые ограничения, погрешности прицеливания, а также особенности траектории (например, требуется, чтобы траектория имела заданный угол захода на цель). В таких усложнённых постановках оптимизация становится многокритериальной.

Иллюстрация

Для наглядности траектории и геометрии задачи можно использовать рисунок, где отмечены начальная точка, цель, угол и скорости. {IMAGE_0}