Операции с векторами и проекции

Введение: что такое вектор

Вектор - направленный отрезок, характеризующийся длиной и направлением; в учебной геометрии и физике вектор обычно записывают через компоненты в декартовой системе координат.

В декартовой плоскости вектор удобно задавать через его координаты по осям. Например, общий вид вектора в двухмерном пространстве записывается как $\\vec{a}=(a_x,a_y)$. Длина (модуль) вектора определяется по теореме Пифагора и равна $|\\vec{a}|=\\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

Нулевой вектор - вектор, длина которого равна нулю и не имеет определённого направления; в координатной форме это вектор с нулевыми компонентами.

Сложение и вычитание векторов

Операция сложения векторов в координатной форме сводится к поэлементному сложению компонент: $\\vec{a}+\\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)$. Геометрически сложение выполняется по правилу параллелограмма или правилу треугольника (см. {IMAGE_0}).

Вычитание векторов определяется как сложение с противоположным: $\\vec{a}-\\vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)$. Это соответствует сдвигу одного вектора на направление и длину другого в противоположном направлении.

Умножение вектора на скаляр

При умножении вектора на число (скаляр) его направление сохраняется, если скаляр положителен, и меняется на противоположное, если скаляр отрицателен; длина вектора при этом умножается на абсолютную величину масштабирующего числа. Это свойство формулируют как $|\\lambda\\vec{a}|=|\\lambda|\\,|\\vec{a}|$.

Умножение на скаляр подчиняется распределительному закону относительно сложения: $\\lambda(\\vec{a}+\\vec{b})=\\lambda\\vec{a}+\\lambda\\vec{b}$. Такие свойства позволяют удобно выполнять операции с векторами при решении задач о движении, силах и других физических величинах.

Скалярное произведение и его свойства

Скалярное произведение - операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр); одно из определений через длины векторов и угол между ними даёт формулу $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|\\,\\cos\\theta$.

В координатах скалярное произведение двух векторов удобно вычислять как поэлементное произведение компонент с последующим суммированием: $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$. Это даёт простой путь вычисления, если известны координаты векторов.

Скалярное произведение служит для определения угла между векторами и проверки ортогональности: если $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=0$ то векторы перпендикулярны. Также полезна формула для косинуса угла: $\\cos\\theta=\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|}$.

Проекции вектора на направление

Проекция - изображение одного вектора на направление другого; различают скалярную (величина проекции) и векторную проекции.

Скалярная проекция (или компнонента) вектора $\\operatorname{comp}_{\\vec{a}}\\vec{b}=\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|}$ выражается через скалярное произведение и модуль вектора-основания. Векторная проекция вектора — это вектор, параллельный выбранному направлению, длина которого равна скалярной проекции; её удобно записывать как $\\operatorname{proj}_{\\vec{a}}\\vec{b}=\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|}$ или, в проекционной форме, как $\\operatorname{proj}_{\\vec{a}}\\vec{b}=\\left(\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{\\vec{a}\\cdot\\vec{a}}\\right)\\vec{a}$.

Разложение вектора на параллельную и перпендикулярную составляющие относительно направления заданного вектора обычно записывают как $\\vec{b}=\\vec{b}_{\\parallel}+\\vec{b}_{\\perp}$, где параллельную часть вычисляют по формуле $\\vec{b}_{\\parallel}=\\left(\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{\\vec{a}\\cdot\\vec{a}}\\right)\\vec{a}$, а перпендикулярную часть как $\\vec{b}_{\\perp}=\\vec{b}-\\vec{b}_{\\parallel}$.

Разложение вектора и применение проекций

Разложение вектора на компоненты по направлению удобного базиса и анализ проекций важны при решении задач механики: сила, скорость и ускорение часто требуют разложения на нормальную и тангенциальную составляющие. Методы проекций также полезны при вычислении работы силы, когда работа равна скалярному произведению силы на перемещение.

Практическая формула для векторной проекции особенно удобна при разложении: $\\vec{b}_{\\parallel}=\\left(\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{\\vec{a}\\cdot\\vec{a}}\\right)\\vec{a}$. После вычисления параллельной составляющей легко получить перпендикулярную как разность $\\vec{b}_{\\perp}=\\vec{b}-\\vec{b}_{\\parallel}$.

Координатные операции и базисы

Базис - набор линейно независимых векторов, с помощью которых любой вектор пространства можно выразить в виде линейной комбинации. В двумерном декартовом базисе стандартные единичные векторы задаются как $\\vec{e}_1=(1,0),\\,\\vec{e}_2=(0,1)$.

Любой вектор в декартовой системе представляется через координаты по базису: $\\vec{v}=x\\vec{e}_1+y\\vec{e}_2$. При этом операции сложения, вычитания и умножения на скаляр сводятся к операциям над координатами векторов, что делает вычисления простыми и системными.

При переходе к иному базису координаты вектора изменяются по правилам линейных преобразований, но сам вектор остаётся тем же геометрическим объектом; понимание координатных преобразований важно для задач с поворотами и проекциями на другие системы отсчёта.

Примеры и типовые задачи

Разберём подробнее предыдущий числовой пример: для векторов $\\vec{a}=(2,3)$ и $\\vec{b}=(-1,4)$ их сумма найдена как $\\vec{a}+\\vec{b}=(1,7)$. Скалярное произведение равно $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=2\\cdot(-1)+3\\cdot4=10$, а значит косинус угла между ними вычисляется по формуле $\\cos\\theta=\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|}$.

Ещё один типичный пример: проверить ортогональность двух векторов в координатах достаточно вычислить их скалярное произведение по формуле $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$ и сравнить с нулём ($\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=0$). Такие проверки часто встречаются при решении задач на перпендикулярность и нахождение нормалей к плоскостям в пространстве.

Сводные свойства и рекомендации по решению задач

При решении задач с векторами полезно придерживаться алгоритма: 1) выбрать удобную систему координат и базис; 2) записать векторы в координатной форме; 3) выполнить требуемые операции через соответствующие формулы ($\\vec{a}+\\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)$, $\\vec{a}-\\vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)$, $\\lambda(\\vec{a}+\\vec{b})=\\lambda\\vec{a}+\\lambda\\vec{b}$, $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$); 4) при необходимости интерпретировать ответы геометрически.

Запомните ключевые формулы: скалярное произведение через угол $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|\\,\\cos\\theta$, через компоненты $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$, и формулы проекций $\\operatorname{proj}_{\\vec{a}}\\vec{b}=\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}|}$, $\\operatorname{proj}_{\\vec{a}}\\vec{b}=\\left(\\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{\\vec{a}\\cdot\\vec{a}}\\right)\\vec{a}$. Эти выражения обеспечивают практический набор инструментов для большинства задач школьной программы по теме векторов и проекций.