КонспектыФизика

Неупругие столкновения и столкновения с плитой

Неупругие столкновения и столкновения с плитой

Введение и смысл темы

Столкновения тел — важная тема в механике, связанная с переносом импульса и энергии между телами при очень малых по сравнению со средним временем взаимодействия масштабах. Основные законы, которые применяются к столкновениям — закон сохранения импульса и модель, вводящая коэффициент восстановления для описания потерь энергии. Для простоты обычно рассматривают одномерные случаи, когда все скорости направлены вдоль одной прямой.

Импульс материальной точки определяется как произведение массы на скорость, что в компактной форме записывается как p=mvp = m v. При отсутствии внешних сил импульс замкнутой системы сохраняется: для двух тел до и после столкновения выполняется равенство m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1'' + m_2 v_2''.

Импульс - количественная мера движения тела, равная произведению его массы на скорость, см. формулу p=mvp = m v.

Закон сохранения импульса и уравнения столкновения

В случае двух тел массами m_1 и m_2, движущихся в одной линии с начальными скоростями v_1 и v_2, уравнение сохранения импульса связывает скорости до и после столкновения через выражение m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1'' + m_2 v_2''. Это одно векторное (в одномерном — просто числовое) уравнение.

Чтобы однозначно определить конечные скорости v_1'' и v_2'', требуется ещё одно условие, описывающее характер столкновения. В классической модели принимают коэффициент восстановления e, определяемый как отношение относительной скорости отскока к относительной скорости сближения: e=v2′−v1′v1−v2e = \frac{v_2'' - v_1''}{v_1 - v_2}. Значение e лежит в интервале от e=0e = 0 (совершенно неупругое, тела слипаются) до e=1e = 1 (совершенно упругое, энергия кинетическая в относительной форме сохраняется).

Коэффициент восстановления - безразмерная величина e, характеризующая степень упругости столкновения, см. формулу e=v2′−v1′v1−v2e = \frac{v_2'' - v_1''}{v_1 - v_2}.

Общие формулы для скоростей после удара

Решая систему из закона сохранения импульса m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1'' + m_2 v_2'' и определения коэффициента восстановления e=v2′−v1′v1−v2e = \frac{v_2'' - v_1''}{v_1 - v_2}, получают выражения для скоростей после удара в зависимости от m_1, m_2, v_1, v_2 и e. Для v_1'' справедливо следующее выражение: v1′=m1−em2m1+m2v1+(1+e)m2m1+m2v2v_1'' = \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{(1+e) m_2}{m_1 + m_2} v_2.

Для скорости второго тела после столкновения получаем: v2′=(1+e)m1m1+m2v1+m2−em1m1+m2v2v_2'' = \frac{(1+e) m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - e m_1}{m_1 + m_2} v_2. Эти формулы покрывают все одномерные случаи: от совершенно упругих (e = e=1e = 1) до совершенно неупругих (e = e=0e = 0), и позволяют моделировать реальные столкновения с потерями энергии.

Энергия, потери при неупругих столкновениях

Хотя импульс сохраняется, кинетическая энергия системы в общем случае меняется. Удобно разложить полную кинетическую энергию на энергию движения центра масс и энергию относительного движения. В относительном порядке величина потерь энергии при столкновении определяется формулой: ΔK=12μ(1−e2)(v1−v2)2\Delta K = \frac{1}{2} \mu (1 - e^2) (v_1 - v_2)^2, где μ=m1m2m1+m2\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} — редуцированная масса системы.

Редуцированная масса - величина, равная μ=m1m2m1+m2\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}, используемая при описании относительного движения двух тел.

Формула ΔK=12μ(1−e2)(v1−v2)2\Delta K = \frac{1}{2} \mu (1 - e^2) (v_1 - v_2)^2 показывает, что потери зависят от квадрата относительной скорости до столкновения и от фактора (1 - e^2): при e = e=1e = 1 потери равны нулю, при e = e=0e = 0 потери максимальны и описывают переход к общему движению после сцепления.

Столкновение с твёрдой неподвижной плитой

Особый и часто рассматриваемый случай — удар тела о массивную неподвижную плиту. Массивная плита рассматривается как тело с массой, бесконечно большой по сравнению с массой ударяющей детали, или как опора с очень большой инерцией. В пределе m_2 \rightarrow \infty применимо простое правило: скорость тела после отражения равна v′=−e vv'' = - e\, v.

Знак минус отражает изменение направления, фактор e учитывает потерю энергии при контакте. Часто для твёрдых упругих покрытий принимают e близким к 1, а для мягких и вязких — существенно меньше единицы. Схематическое изображение удара о плиту можно поместить в рисунок {IMAGE_0}.

Пример: при ударе мяча о стену с начальной скоростью v и коэффициентом восстановления e скорость мяча после удара даётся формулой v′=−e vv'' = - e\, v.

Система отсчёта центра масс и её преимущества

Перейдя в систему центра масс, можно упростить описание столкновения: суммарный импульс в этой системе равен нулю, и движения двух тел представляют собой симметричные относительно центра масс. Скорость центра масс определяется выражением Vcm=m1v1+m2v2m1+m2V_{\text{cm}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}.

Скорости тел в системе центра масс записываются как u1=v1−Vcm,u2=v2−Vcmu_1 = v_1 - V_{\text{cm}},\quad u_2 = v_2 - V_{\text{cm}}. В этой системе относительная кинетическая энергия равна Krel=12μ(v1−v2)2K_{\text{rel}} = \frac{1}{2} \mu (v_1 - v_2)^2, и при столкновении меняется только эта относительная часть: после столкновения её величина уменьшается на величину, равную ΔK=12μ(1−e2)(v1−v2)2\Delta K = \frac{1}{2} \mu (1 - e^2) (v_1 - v_2)^2.

Система отсчёта центра масс - инерциальная система, движущаяся со скоростью Vcm=m1v1+m2v2m1+m2V_{\text{cm}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} относительно лабораторной, в которой суммарный импульс системы равен нулю.

Частные случаи: совершенно упругое и совершенно неупругое столкновения

При совершенно упругом столкновении e = e=1e = 1 и полная кинетическая энергия в отсутствие внешних неконсервативных сил сохраняется (энергия относительного движения не меняется). В пределе e = e=0e = 0 говорят о совершенно неупругом столкновении: тела после удара движутся совместно с одной скоростью, равной vcommon=m1v1+m2v2m1+m2v_{\text{common}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}.

Эти предельные случаи служат ориентиром для оценки реальных процессов: большинство макроскопических столкновений лежит между этими крайностями, и подбор e по экспериментальным данным позволяет адекватно моделировать потери.

Практические примеры и разбор задач

Пример 1. Даны: m_1 = 2 кг, m_2 = 3 кг, v_1 = 5 м/с, v_2 = -2 м/с, коэффициент восстановления e = 0.6. Найти скорости после столкновения v_1'' и v_2'', а также потерю кинетической энергии ΔK.

Решение: используем общие формулы для скоростей v1′=m1−em2m1+m2v1+(1+e)m2m1+m2v2v_1'' = \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{(1+e) m_2}{m_1 + m_2} v_2 и v2′=(1+e)m1m1+m2v1+m2−em1m1+m2v2v_2'' = \frac{(1+e) m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - e m_1}{m_1 + m_2} v_2. Подстановка чисел даёт результаты: v_1'' = v1′=2−0.6⋅32+3⋅5+(1+0.6)⋅32+3⋅(−2)=−1.72 м/сv_1'' = \frac{2 - 0.6\cdot 3}{2+3}\cdot 5 + \frac{(1+0.6)\cdot 3}{2+3}\cdot (-2) = -1.72\ \text{м/с}, v_2'' = v2′=(1+0.6)⋅22+3⋅5+3−0.6⋅22+3⋅(−2)=2.48 м/сv_2'' = \frac{(1+0.6)\cdot 2}{2+3}\cdot 5 + \frac{3 - 0.6\cdot 2}{2+3}\cdot (-2) = 2.48\ \text{м/с}. Редуцированная масса равна μ=2⋅32+3=1.2 кг,ΔK=12⋅1.2⋅(1−0.62)⋅72=18.816 Дж\mu = \frac{2\cdot 3}{2+3} = 1.2\ \text{кг},\quad \Delta K = \frac{1}{2}\cdot 1.2\cdot (1-0.6^2)\cdot 7^2 = 18.816\ \text{Дж} (см. в конце формулы), и потеря кинетической энергии вычисляется в той же формуле μ=2⋅32+3=1.2 кг,ΔK=12⋅1.2⋅(1−0.62)⋅72=18.816 Дж\mu = \frac{2\cdot 3}{2+3} = 1.2\ \text{кг},\quad \Delta K = \frac{1}{2}\cdot 1.2\cdot (1-0.6^2)\cdot 7^2 = 18.816\ \text{Дж} как 18.816 Дж.

Пример 2. Массивный брусок сталкивается со стеной. Принимая стену за неподвижную плиту, скорость бруска после отражения равна v′=−e vv'' = - e\, v (знак меняется, модуль умножается на e). Такой подход широко используется при моделировании отражений в задачах баллистики и спортивной физики.

Замечания по измерению и применению

Коэффициент восстановления можно определить экспериментально, измеряя скорости до и после столкновения и подставляя их в формулу e=v2′−v1′v1−v2e = \frac{v_2'' - v_1''}{v_1 - v_2}. На практике часто измеряют вертикальные скорости тела до и после удара о твёрдую поверхность и вычисляют e как отношение модулей скоростей в вертикальном направлении.

Важно учитывать, что e зависит от материалов, скорости удара и условий контакта (температуры, наличия деформаций и т.д.). При высоких скоростях и больших деформациях простая модель с постоянным e может давать грубые ошибки, и тогда требуются более сложные модели контакта и пластической деформации.

Краткое резюме

Главные инструменты при анализе столкновений — закон сохранения импульса m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1'' + m_2 v_2'' и модель коэффициента восстановления e=v2′−v1′v1−v2e = \frac{v_2'' - v_1''}{v_1 - v_2}. Формулы для скоростей после удара приведены в v1′=m1−em2m1+m2v1+(1+e)m2m1+m2v2v_1'' = \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{(1+e) m_2}{m_1 + m_2} v_2 и v2′=(1+e)m1m1+m2v1+m2−em1m1+m2v2v_2'' = \frac{(1+e) m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - e m_1}{m_1 + m_2} v_2, потери энергии выражены через редуцированную массу μ=m1m2m1+m2\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} формулой ΔK=12μ(1−e2)(v1−v2)2\Delta K = \frac{1}{2} \mu (1 - e^2) (v_1 - v_2)^2. Для ударов о твёрдую плиту используется предельное правило v′=−e vv'' = - e\, v.

Эти результаты позволяют решать широкий класс задач школьного и олимпиадного уровня, моделировать физические эксперименты и понимать, как механические свойства материалов влияют на динамику столкновений.