Маятниковое движение с грузом (гантель)

Описание системы и физическая модель

Рассматривается простая механическая система — жесткая тонкая штанга с двумя одинаковыми грузиками на концах, закреплённая так, что может свободно вращаться вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости штанги. Такая система часто называется «гантелью» и служит частным случаем физического маятника.

Гантель - система из двух точечных или малых по размеру грузиков, соединённых жёсткой стержневой связью, используемая для моделирования составных тел при вращательных движениях.

Положение грузов относительно центра стержня задаётся полушириной гантели {IMAGE_0}. Ось подвеса может располагаться на расстоянии d от центра гантели; при d=0 система симметрична относительно оси и не испытывает момента тяжести, приводящего к колебаниям.

Физический маятник - любой твёрдый объект, способный совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести; его поведение описывается моментом инерции и положением центра масс.

Момент инерции и применение теоремы параллельных осей

Для анализа колебаний важно вычислить момент инерции системы относительно оси подвеса. Сначала удобно записать момент инерции относительно центра масс (оси, проходящей через центр штанги перпендикулярно ей). Для двух точечных грузов на расстоянии a от центра момент инерции системы относительно центральной оси равен

$I_{\mathrm{cm}} = 2 m a^{2}$

Если ось подвеса смещена от центра на расстояние d, применима теорема параллельных осей: момент инерции относительно новой оси равен сумме момента инерции относительно центра масс и приведённого вклада массы, обусловленного смещением центра масс от оси. Это записывается как

$I = I_{\mathrm{cm}} + 2 m d^{2}$

Подставляя выражение для момента инерции относительно центра, получаем компактный вид:

$I = 2 m \left(d^{2} + a^{2}\right)$

Уравнение движения и малые угловые колебания

При отклонении от вертикального положения тяжесть действует на центр масс, создавая момент сил, стремящийся вернуть систему в равновесие. Для двух одинаковых грузов суммарный момент от силы тяжести равен

$\tau = -2 m g d \sin\theta$

Для малых углов установлено приближение синуса угла: при \(\theta\ll 1\) радиан можно считать, что синус угла приближённо равен самому углу в радианах. Это обозначается как

$\sin\theta \approx \theta$

Подставляя момент сил в закон вращательного движения I\alpha = момент и используя малый угол, получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка для угла отклонения:

$I\,\ddot{\theta} + 2 m g d\,\theta = 0$

Из этого уравнения следует выражение для квадратa собственной циклической частоты колебаний:

$\omega^{2} = \dfrac{2 m g d}{I}$

Подставляя выражение для момента инерции в явном виде получают простую форму для \(\omega^2\):

$\omega^{2} = \dfrac{g d}{d^{2} + a^{2}}$

Период малых колебаний наиболее удобно записать в виде

$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{d^{2} + a^{2}}{g d}}$

Энергетический подход: кинетическая и потенциальная энергия

Энергетический метод позволяет не только получить уравнения движения, но и проследить обмен кинетической и потенциальной энергиями при предельных углах и скоростях. Полная потенциальная энергия системы при угле \(\theta\) равна произведению суммарной силы тяжести на вертикальное смещение центра масс. Для нашей конструкции это даёт

$U(\theta) = 2 m g d \left(1 - \cos\theta\right)$

В приближении малых углов используется разложение косинуса в ряд, и потенциальная энергия становится квадратичной по углу:

$U(\theta) \approx m g d\,\theta^{2}$

Кинетическая энергия при вращательном движении выражается через момент инерции и угловую скорость:

$K = \tfrac{1}{2} I \dot{\theta}^{2}$

Полная механическая энергия - сумма кинетической и потенциальной энергии, сохраняющаяся при отсутствии трения и внешних невозвратных сил.

Сумма энергий остаётся постоянной:

$E = K + U$

Дифференцируя потенциальную энергию по углу, можно получить выражение для момента сил в альтернативной форме:

$\tau = -\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta}$

Примеры и практические замечания

Замечания по применению и погрешности модели

Модель гантели как физического маятника применима, если стержень жёсткий, грузы малы по размеру по сравнению с расстоянием между ними, и трение в точке подвеса можно пренебречь. В реальных приборах трение, аэродинамические силы и упругие деформации стержня вносят поправки к идеализированной модели.

Если грузы различны по массе или расположены на разных расстояниях от центра, формулы для момента инерции и положения центра масс усложняются: в этом случае суммарный момент определяется суммированием вкладов каждого груза отдельно, и центр масс смещается относительно геометрического центра.

При больших углах приближение \(\sin\theta\approx\theta\) перестаёт быть справедливым, и уравнение движения становится нелинейным: амплитуда влияет на период, и возникает зависимость периода от начального угла. Для точного учёта таких эффектов используют численное интегрирование или приближения второго порядка по углу.

В лабораторных работах измеряют период колебаний нескольких циклов и усредняют результаты, чтобы снизить влияние случайных ошибок и фазовых сдвигов; для анализа данных полезно также учитывать рассеяние и систематические погрешности, например точность измерения расстояний a и d.