Линейное и поперечное тепловое расширение

Общее понятие теплового расширения

Тепловое расширение - изменение геометрических размеров тела при изменении его температуры без приложения внешних сил (или при их отсутствии в рассматриваемом направлении).

При нагревании большинство тел увеличивает свои линейные размеры, площадь поперечного сечения и объём. Механизм этого явления связан с увеличением средней энергии теплового движения частиц: средние расстояния между атомами или молекулами растут, что проявляется макроскопически как расширение.

Для практических расчётов вводят параметры, характеризующие чувствительность материала к изменению температуры. Один из основных параметров — коэффициент линейного расширения, обозначаемый как $\alpha$. Он показывает относительное изменение длины единицы длины при изменении температуры на единицу.

Важно различать свободное расширение (когда тело может менять размеры без ограничений) и ограниченное или закреплённое положение (когда одно или несколько направлений движения запрещены). В последнем случае расширение приводит к появлению термических напряжений и деформаций, которые нужно учитывать в расчётах конструкций.

Линейное тепловое расширение

Коэффициент линейного расширения - величина, равная относительному изменению длины тела при единичном изменении температуры.

Для протяжённого тела начальной длиной L0 изменение длины при малом изменении температуры ΔT можно приближённо описать формулой $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Соответственно конечная длина L после изменения температуры выражается через начальную длину и прирост, что записывают как $L = L_0\left(1 + \alpha \Delta T\right)$.

Значение коэффициента линейного расширения зависит от материала, структуры и температуры. Для металлов типичные значения лежат в диапазоне 10^{-6}—10^{-5} K^{-1}. У некоторых материалов (стекло, керамика, полимеры) диапазон и знаки могут отличаться — встречается и отрицательное расширение в определённых температурных интервалах.

В школьных задачах часто рассматривают приближённое линейное поведение при небольших ΔT. При больших изменениях температуры необходимо учитывать температурную зависимость коэффициента и нелинейные эффекты, тогда формулы запишутся в интегральной форме.

Поперечное расширение и связь с эффектом Пуассона

Поперечное (латеральное) расширение - изменение размеров в направлении, перпендикулярном заданному (например, изменение диаметра стержня при его удлинении или нагревании).

Если материал изотропен и расширяется свободно, то коэффициент линейного расширения одинаков в любых направлениях и поперечное расширение при нагревании даёт тот же относительный прирост, что и вдоль продольного направления. Однако при механическом нагружении и ограничениях появляется связь между продольной и поперечной деформацией, описываемая коэффициентом Пуассона $\nu$.

Если длинный стержень нагревают, но его концы закреплены так, что продольное удлинение запрещено, то возникает продольное термическое напряжение. В этом случае вдоль стержня возникает напряжение, равное $\sigma = E \alpha \Delta T$. Оно приводит к поперечным деформациям, которые связаны с этим напряжением через коэффициент Пуассона. Для полной фиксации продольного расширения поперечная деформация определяется выражением $\varepsilon_{\mathrm{trans}} = -\nu \alpha \Delta T$.

Если же стержень расширяется свободно, поперечное изменение диаметра можно оценить по тем же коэффициентам теплового расширения — относительные изменения в поперечных направлениях примерно равны $\varepsilon_{\mathrm{therm}} = \alpha \Delta T$, и, следовательно, относительная смена поперечного размера совпадает с относительной сменой продольного размера.

Изменение площади и объёма

При нагревании плосных образцов важно учитывать изменение площади поперечного сечения. Для небольших изменений площади используют приближённую формулу $\Delta A = \beta A_0 \Delta T$, где $\beta \approx 2\alpha$ — приближённая связь между коэффициентом площадного расширения и коэффициентом линейного расширения.

Для трёхмерных тел удобно вводить коэффициент объёмного расширения. При малых изменениях объёма выполняется соотношение $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$, а для изотропных материалов справедливо приближение $\gamma \approx 3\alpha$, то есть объёмный коэффициент примерно втрое превышает линейный.

Эти приближения удобны для оценки и часто применяются при проектировании: зная линейный коэффициент материала, можно быстро оценить изменения площади и объёма при нагреве или охлаждении.

Тепловые напряжения при ограничениях

Если тепловое расширение ограничено (например, стержень закреплён в опорах), то вместо свободного удлинения появляется внутреннее напряжение. Для полностью закреплённого стержня простейшее выражение для возникающего напряжения равно $\sigma = E \alpha \Delta T$.

Сила, которую опоры должны воспринимать, чтобы не допустить расширения закреплённого элемента, равна произведению напряжения на площадь поперечного сечения: $F = E \alpha \Delta T \; A$. Это важная оценка при проектировании креплений и соединений, чтобы избежать пластической деформации или разрушения при температурных изменениях.

В реальных конструкциях часто часть свободы сохранена и напряжение вычисляют с учётом коэффициента жёсткости и геометрии; при сложной геометрии требуется рассчитывать распределение температур и напряжений численно (метод конечных элементов).

Примеры и типовые задачи

Такие примеры показывают типичный порядок величин: при обычных температурных изменениях относительные и абсолютные изменения размеров часто малы, но в конструкциях с большими размерами или при больших перепадах температур суммарное смещение может быть значительным и требовать компенсации (щели, компенсаторы, пружинящие крепления).

Важно помнить, что при проектировании учитывают температурную однородность, градиенты температуры и возможные разные коэффициенты расширения у материалов, соединённых между собой: при нагреве такие узлы испытывают дополнительные усилия, что может привести к гэперам, трещинам или короблению.