Колебательный контур и резонанс

Введение в колебательный контур

Колебательный контур — это базовый электрический элемент, в котором энергия периодически переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки индуктивности. Типичный идеализированный контур состоит из конденсатора и катушки, соединённых между собой, и в отсутствии потерь он поддерживает самостоятельные (свободные) колебания энергии.

Колебательный контур - электрическая цепь, состоящая по крайней мере из индуктивности и ёмкости, способная к собственным колебаниям энергии между этими элементами.

Частота собственных колебаний идеального LC-контура определяется его индуктивностью и ёмкостью. Угловая собственная частота контура выражается формулой $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, а циклическая частота в герцах связана с угловой через $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi}$. Именно эти величины определяют, каким образом контур реагирует на внешние воздействия и при каких условиях возникает резонанс.

В идеальном контуре полная энергия остаётся постоянной и равна максимуму энергии в конденсаторе или в катушке в соответствующие моменты времени: $E=\dfrac{1}{2}C V_{\max}^2=\dfrac{1}{2}L I_{\max}^2$.

Элементы контура: конденсатор и катушка

Конденсатор - пассивный элемент, аккумулирующий электрическую энергию в виде разности потенциалов между обкладками. Энергия, запасённая в конденсаторе, записывается как $U_C=\dfrac{1}{2}CV^2$.

Катушка индуктивности - пассивный элемент, аккумулирующий энергию магнитного поля при прохождении через неё тока. Энергия, запасённая в катушке, определяется выражением $U_L=\dfrac{1}{2}LI^2$.

В цепи LC энергия непрерывно переходит из одного вида в другой: в момент, когда заряд на конденсаторе максимален, ток минимален и энергия сосредоточена преимущественно в конденсаторе; в момент максимального тока — энергия сосредоточена в катушке. В отсутствии потерь суммарная энергия остаётся постоянной, что математически выражено формулой $E=\dfrac{1}{2}C V_{\max}^2=\dfrac{1}{2}L I_{\max}^2$.

{IMAGE_0}

Свободные колебания в контуре

Математическое описание колебаний в серии RLC начинается с дифференциального уравнения для заряда на конденсаторе: $L\dfrac{d^2q}{dt^2} + R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0$. Решение этого уравнения в беззатухающем (идеальном) случае даёт гармоническую функцию: $q(t)=Q_0\cos\left(\omega_0 t + \varphi\right)$, где параметры определяются начальными условиями.

Угловая собственная частота, как отмечалось ранее, равна $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, а нормальная частота в герцах даётся формулой $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi}$. Эти величины определяют период и скорость обмена энергией между элементами контура.

Затухающие колебания и критическое сопротивление

В реальных контурах всегда присутствуют потери, в простейшем случае их моделируют элементом сопротивления R. Для ряда значений R колебания будут затухать экспоненциально. Коэффициент затухания (декремент) определяют через $\gamma=\dfrac{R}{2L}$ и связанное с ним затухающая частота $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}$.

Если сопротивление велико, контур перейдёт в апериодическое состояние (переграшение), при котором осцилляций нет. Критическое значение сопротивления, разделяющее различные типы движения, задаётся соотношением $\omega_0\approx1\times10^{6}\ \mathrm{rad/s}$.

Амплитуда колебаний в затухающем режиме убывает по экспоненте, её временная зависимость можно записать так: $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$. Энергию системы при этом можно считать уменьшающейся по закону, связанному с квадратом амплитуды.

Вынужденные колебания и резонанс

Если к контуру приложено внешнее переменное напряжение, в установившемся режиме образуются вынужденные колебания. Амплитуда тока в серии RLC как функция угловой частоты внешнего источника описывается формулой $I(\omega)=\dfrac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$, где величина в знаменателе связана с импедансом контура $Z(\omega)=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$.

Резонанс наступает, когда реактивные сопротивления индуктивности и ёмкости компенсируют друг друга, то есть выполняется условие $\omega=\omega_0$. В точке резонанса амплитуда тока достигает максимума и для серии RLC равна $R_{\mathrm{crit}}=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ при заданной амплитуде ЭДС источника.

Фазовый сдвиг между напряжением и током в общем случае равен $\tan\varphi=\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$. При резонансе фазовый сдвиг равен нулю, то есть ток и напряжение находятся в фазе.

Добротность контура и полоса пропускания

Добротность (Q) - безразмерная величина, характеризующая «остроту» резонанса и скорость затухания колебаний. Для серии RLC она определяется как $Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}$.

Добротность связана с шириной резонансного пика: чем выше Q, тем уже полоса пропускания. Связь между добротностью и относительной шириной полосы пропускания задаётся соотношением $Q=\dfrac{\omega_0}{\Delta\omega}$, где ширина по уровню -3 дБ выражается формулой $\Delta\omega=\dfrac{R}{L}$.

Высокая добротность означает малые потери и длительное сохранение энергии в контуре; низкая — широкую полосу и быстрое затухание. Значение Q определяется конструктивно (L, C, R) и условиями внешней связи с нагрузкой.

Энергетика и потери в контуре

Энергия в конденсаторе и в катушке задаётся формулами $U_C=\dfrac{1}{2}CV^2$ и $U_L=\dfrac{1}{2}LI^2$. В идеальном контуре суммарная энергия постоянна и равна $E=\dfrac{1}{2}C V_{\max}^2=\dfrac{1}{2}L I_{\max}^2$. В реальном контуре часть энергии непрерывно рассеивается в виде тепла на сопротивлениях; средняя рассеиваемая мощность связана с эффективным током и сопротивлением: $I_{\mathrm{res}}=\dfrac{\mathcal{E}_0}{R}$.

При вынужденных колебаниях на резонансе потери определяют ширину и высоту резонансного пика: чем больше потери, тем меньше амплитуда резонанса и шире полоса. В практических схемах стремятся подобрать параметры так, чтобы баллансировать требуемую добротность и допустимые потери.

Практические применения и примеры расчётов

Колебательные контуры и явление резонанса лежат в основе работы радиоприёмников, фильтров, автотунов, систем передачи сигналов и многих измерительных приборов. Понимание связи L, C и R с частотой и добротностью позволяет конструировать частотные селекторы и резонансные усилители.

{IMAGE_1}

Заключение

Колебательный контур — фундаментальный элемент электротехники и физики, демонстрирующий важнейшие явления гармонической динамики, энергообмена и резонанса. Различие между идеализированными и реальными контурами определяется наличием потерь и связанными с ними характеристиками, такими как добротность и ширина резонанса.

Для практического проектирования важно умение вычислять собственные частоты $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$/$f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi}$, оценивать затухание $\gamma=\dfrac{R}{2L}$/$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}$ и добротность $Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}$, а также прогнозировать отклик контура на внешний сигнал с учётом импеданса $Z(\omega)=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$ и резонансных свойств $\omega=\omega_0$.