Импульс точки и системы тел. Законы сохранения

Понятие импульса и физический смысл

Импульс - векторная физическая величина, характеризующая механическое состояние точки массы и равная произведению её массы на скорость; формула задаётся как $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$.

Импульс отражает «количество движения» тела. Чем больше масса или скорость, тем труднее изменить состояние движения тела — это и выражено импульсом. В классической механике импульс тесно связан с силой через второй закон Ньютона в форме уравнения для изменения импульса.

Импульс является векторной величиной: направление импульса совпадает с направлением скорости. При анализе движения важно различать моментную (момент времени) и суммарную характеристику тела — импульс описывает мгновенное состояние движения, однако при взаимодействиях удобно работать с изменениями импульса.

Импульс и второй закон Ньютона (теорема об импульсе)

Второй закон Ньютона в импульсной форме - сила равна скорости изменения импульса, что записывается как $\mathbf{F}=\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}$.

Интегрируя уравнение $\mathbf{F}=\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}$ по времени на отрезке от t1 до t2, получаем понятие импульса силы (или интеграла силы по времени), который равен изменению импульса тела: это математически выражено формулой $\mathbf{J}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\,dt$ и следствием которой является $\Delta\mathbf{p}=\mathbf{p}(t_2)-\mathbf{p}(t_1)=\mathbf{J}$.

Физический смысл теоремы об импульсе состоит в том, что действие силы в течение некоторого времени может быть заменено эквивалентным «ударом» (импульсом) той же величины. В практических задачах часто используют приближение среднего значения силы и записывают импульс как произведение среднего усилия на длительность взаимодействия.

Импульс системы тел и закон сохранения импульса

Импульс системы - векторная сумма импульсов всех частиц системы, записываемая как $\mathbf{P}=\sum_{i}\mathbf{p}_i=\sum_{i}m_i\mathbf{v}_i$.

Если на систему тел не действуют внешние силы, то суммарный импульс системы остаётся неизменным во времени. Это это формулируется как $\dfrac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{F}_{\text{ext}}=0\;\Rightarrow\;\mathbf{P}=\text{const}$: производная суммарного импульса по времени равна сумме внешних сил, и при их отсутствии суммарный импульс сохраняется.

Закон сохранения импульса — одно из фундаментальных следствий симметрии пространства (инвариантности законов физики при параллельном переносе). Он широко используется при анализе столкновений, взаимодействий между телами и при вычислении движения центра масс замкнутой системы.

Столкновения: упругие и неупругие взаимодействия

При рассмотрении двух тел до и после соударения справедлив закон сохранения импульса: $m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2=m_1\mathbf{v}_1''+m_2\mathbf{v}_2''$. Это уравнение позволяет связать скорости тел до и после взаимодействия, однако в общем случае одна только сохранность импульса не даёт уникального решения для скоростей.

Если соударение упругое, дополнительно сохраняется кинетическая энергия, выражаемая для двух тел как $\tfrac{1}{2}m_1v_1^2+\tfrac{1}{2}m_2v_2^2=\tfrac{1}{2}m_1v_1''^2+\tfrac{1}{2}m_2v_2''^2$. Система уравнений из сохранения импульса и кинетической энергии даёт однозначное решение для скоростей после упругого соударения.

При абсолютно неупругом соударении тела могут сцепиться и далее двигаться совместно; в этом частном случае сохранение импульса даёт простое выражение для общей скорости сцеплённых тел. Для описания частичных потерь скорости при соударениях вводят коэффициент восстановления упругости $e=\dfrac{v_2''-v_1''}{v_1-v_2}$, который характеризует отношение скоростей сближения и разделения тел.

Центр масс и движение системы

Центр масс - точка, координаты которой задаются как $\mathbf{R}=\dfrac{1}{M}\sum_{i}m_i\mathbf{r}_i,\; M=\sum_i m_i$, где M — суммарная масса системы.

Скорость центра масс равна массочувствительной средней скоростей частиц: $\mathbf{V}=\dfrac{d\mathbf{R}}{dt}=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{v}_i$. Суммарный импульс системы можно записать как произведение суммарной массы на скорость центра масс: это тесно связывает понятия импульса и движения центра масс.

Движение центра масс подчиняется законам Ньютона: на центр масс действует суммарная внешняя сила, и её действие даёт изменение импульса всей системы в соответствии с уравнением $M\mathbf{a}_{\text{CM}}=\mathbf{F}_{\text{ext}}$. Это означает, что внутренние силы (взаимодействия между частицами системы) не влияют на движение центра масс замкнутой системы.

Импульс силы, средняя сила и практические соображения

В практических задачах удобно пользоваться понятием импульса силы: если известна средняя сила на интервале времени, то импульс равен произведению этой средней силы на длительность воздействия, выражение даётся как $\mathbf{J}=\overline{\mathbf{F}}\,\Delta t$.

При ударных взаимодействиях, где силы быстро меняются и имеют большие амплитуды, пренебрежение детальной временной зависимостью силы и переход к импульсу часто существенно упрощают анализ. Это особенно важно при расчётах безопасности (подушки безопасности, наезд на преграду), где важна величина изменения импульса.

Примеры и разбор задач

Иллюстрации и дополнительные замечания

Для наглядности процессов соударений и движения центра масс полезны графические иллюстрации и диаграммы скоростей {IMAGE_0}. На таких рисунках видно, как суммарный векторный импульс сохраняется, хотя распределение кинетической энергии между телами меняется.

Законы сохранения — мощный инструмент. Закон сохранения импульса часто комбинируют с законом сохранения энергии и с геометрическими соображениями (например, проекции на оси), чтобы решать широкий класс задач от простых школьных до научно-технических приложений.