Гидростатика и давление в жидкостях

Основные понятия гидростатики

Гидростатика - раздел механики жидкости, изучающий равновесие жидкостей и газов, а также распределение давления в неподвижных жидкостях под действием внешних сил.

Давление - скалярная физическая величина, равная силе, действующей перпендикулярно поверхности, делённой на площадь этой поверхности; в гидростатике важна зависимость давления от глубины и свойств среды.

В гидростатике рассматривают жидкости как непрерывную среду, в которой отсутствуют касательные напряжения в состоянии покоя. Это означает, что только нормальные силы действуют на элементы объёма и поверхности. Важна понятия плотности и уровня отсчёта давления: изменение давления зависит от того, на какую глубину погружается точка в жидкости и от того, какое давление действует на свободную поверхность.

Иллюстративно распределение давления чаще всего представляют в виде вертикальных столбов жидкости: чем глубже точка относительно свободной поверхности, тем больше вес столба жидкости над этой точкой и тем выше давление. В учебных задачах часто используют понятие эталонного давления на поверхности и затем вычисляют добавочное давление на глубине.

Закон гидростатического давления

Ключевое соотношение гидростатики связывает давление в жидкости с давлением на свободной поверхности, плотностью жидкости и глубиной. Это выражение показывает, что при постоянной плотности жидкость создаёт линейно возрастающее давление с глубиной относительно выбранной поверхности отсчёта: $p = p_0 + \rho g h$.

Изменение давления по вертикали подчиняется дифференциальному соотношению, которое отражает баланс сил на малый элемент объёма жидкости. Для вертикальной оси, направленной вверх, изменение давления с высотой описывается со знаком, указывающим уменьшение давления при движении вверх: $\displaystyle \frac{dp}{dz} = -\rho g$.

На практике это означает, что разность давлений между двумя уровнями в однородной жидкости зависит только от разности глубин между этими уровнями и плотности жидкости. Давление на глубине определяется не формой сосуда и не объёмом жидкости, а исключительно глубиной и плотностью (при неизменной плотности).

Принцип Паскаля и передача давления

Принцип Паскаля формулирует важный качественный вывод: в сообщающейся заполненной жидкостью среде изменение давления, вызванное внешним воздействием, передаётся во все точки среды одинаково. Это свойство используется в гидравлических системах и прессах для получения большого усилия при небольшом входном усилии.

Для идеальной ситуации гидравлического пресса связь между усилиями и площадями приводится через соотношение давлений, что даёт простую формулу: $\displaystyle \frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}$. Это означает, что сила на выходе пропорциональна отношению площадей и входной силе.

Практическая реализация принципа Паскаля требует учитывать потерю давления на трение и упругие деформации стенок в реальных системах, но основной расчёт силы в стационарном режиме выполняется по приведённому соотношению. Гидроусилители, тормозные системы и домкраты — примеры применения этого принципа.

Сила Архимеда и плавание тел

Сила Архимеда - выталкивающая сила, действующая на тело, погружённое в жидкость, равная весу вытесненной телом жидкости.

Количественно выталкивающая сила вычисляется по формуле, связывающей плотность жидкости, объём погруженной части тела и ускорение свободного падения: $F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$. Это соотношение является следствием интегрирования распределения давления по объёму или поверхности погружённого тела.

Условие плавания определяется равенством или соотношением силы тяжести тела и выталкивающей силы. Для тела, плавающего в равновесии, выполняется равенство между его весом и выталкивающей силой: $W = F_A$. Если выталкивающая сила меньше веса — тело тонет, если больше — всплывает, если равна — тело находится в нейтральной плавучести.

Плотность самого тела вычисляется как отношение его массы к объёму, и сравнение плотностей тела и жидкости даёт простое правило для определения поведения объекта в жидкости: $\rho = \displaystyle\frac{m}{V}$. Если плотность тела меньше плотности жидкости — тело будет плавать, иначе — тонуть.

Давление на поверхности и силы на плоские поверхности

При расчёте силы, действующей на плоскую вертикальную поверхность, удобно выделять среднее давление на площадь и умножать его на площадь этой поверхности. Сила равна среднему давлению, умноженному на площадь: $F = p_{\text{ср}} A$.

Среднее гидростатическое давление на плоскую погружённую поверхность можно выразить через плотность, ускорение свободного падения и глубину центра площади относительно свободной поверхности: $p_{\text{ср}} = \rho g h_{\text{ц}}$. При этом для вычисления момента силы и положения результирующей силы требуется дополнительный учёт распределения давления по глубине.

Практически это важно при проектировании плотин, стенок бассейнов и резервуаров: конструкция должна учитывать не только модуль результирующей силы, но и её точку приложения, чтобы обеспечить устойчивость и прочность.

Коммуницирующие сосуды и барометр

В сообщающихся сосудах при одинаковой жидкости уровни устанавливаются так, что давление на одном и том же глубинном уровне одинаково во всех сообщающихся объёмах: $p_1 = p_2$. Следовательно, при одинаковой плотности жидкости уровни будут на одном уровне; различие в плотностях или внешних давлениях приводит к различиям уровней.

Барометр — прибор для измерения атмосферного давления, основанный на равновесии столба жидкости в трубке с внешним атмосферным давлением. Для ртутного барометра классическое соотношение связывает атмосферное давление с высотой столба жидкости: $p_{\text{атм}} = \rho g h$. Это уравнение показывает, что высота столба пропорциональна внешнему давлению и обратно пропорциональна плотности рабочей жидкости.

Практические следствия гидростатики включают необходимость учитывать изменение плотности жидкости с температурой и влияние растворённых веществ на плотность. В задачах часто предполагается однородная несжимаемая жидкость, но реальные расчёты могут требовать учёта вариаций плотности и сжимаемости при больших глубинах или давлениях.

{IMAGE_0}

{IMAGE_1}