КонспектыФизика

Единицы и перевод между системами измерений

Единицы и перевод между системами измерений

Основные понятия и определения

Понимание единиц измерения — одна из базовых компетенций в физике. Единицы определяют масштаб, в котором выражаются измеряемые величины; перевод между системами измерений требуется для сравнения результатов, использования таблиц и применения формул из разных источников. Важной частью работы с единицами является умение выделять размерности величин и проверять согласованность формул.

Единица измерения - эталон, по сравнению с которым выражается численное значение физической величины; единица задаёт масштаб измерения и позволяет сравнивать разные величины одного типа.

Для простоты и надёжности вычислений используют стандартные наборы единиц — системы измерений. Наиболее широко в науке и технике применяется Международная система единиц (СИ). Другие системы (например, СГС или английская имперская система) встречаются в специализированных задачах и исторических данных.

Система СИ и её базовые единицы

Система СИ включает семь базовых единиц, из которых строятся производные единицы. Каждая базовая единица задаёт норму для одной фундаментальной размерности. В тексте ниже символы базовых единиц для наглядности оформлены как отдельные выражения.

длина: метр (m)\text{длина: метр (m)}

масса: килограмм (kg)\text{масса: килограмм (kg)}

время: секунда (s)\text{время: секунда (s)}

эл. ток: ампер (A)\text{эл. ток: ампер (A)}

температура: кельвин (K)\text{температура: кельвин (K)}

количество вещества: моль (mol)\text{количество вещества: моль (mol)}

сила света: кандела (cd)\text{сила света: кандела (cd)}

Производные единицы и связь с базовыми

Производные единицы выражаются через базовые с помощью алгебраических операций. Например, единица силы в СИ — ньютон — определяется через килограмм, метр и секунду. То же относится к энергии, работе и давлению, которые выражаются через известные комбинации базовых единиц.

1 N=1 kg⋅m⋅s−21\,\text{N}=1\,\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}

1 J=1 N⋅m1\,\text{J}=1\,\text{N}\cdot\text{m}

1 W=1 J⋅s−11\,\text{W}=1\,\text{J}\cdot\text{s}^{-1}

1 Pa=1 N⋅m−21\,\text{Pa}=1\,\text{N}\cdot\text{m}^{-2}

Префиксы и порядок величин

Для компактного представления очень больших или очень малых чисел используют приставки (префиксы), каждая из которых соответствует степени десяти. Примеры распространённых префиксов приведены ниже.

kilo=103kilo=10^{3}, milli=10−3milli=10^{-3}, micro=10−6micro=10^{-6}

Понимание префиксов помогает быстро оценивать порядок величин и корректно переводить значения: например, при переводе километров в метры или микрометров в метры достаточно знать соответствующие степени десяти.

Перевод между системами: СИ и СГС, СИ и английская система

Система СГС (сантиметр — грамм — секунда) исторически используется в некоторых разделах физики. При переводе между СИ и СГС важно учитывать, что единицы массы и длины отличаются по масштабу, а производные единицы преобразуются через комбинации этих масштабов.

1 m=100 cm1\,\text{m}=100\,\text{cm}

1 N=105 dyn1\,\text{N}=10^{5}\,\text{dyn}

1 Pa=10 dyn⋅cm−21\,\text{Pa}=10\,\text{dyn}\cdot\text{cm}^{-2}

1 J=107 erg1\,\text{J}=10^{7}\,\text{erg}

Английская (имперская) система содержит такие привычные для быта величины, как дюймы, футы и фунты. При переходе на СИ необходимы точные численные коэффициенты перевода.

1 in=2.54 cm1\,\text{in}=2.54\,\text{cm}

1 ft=12 in1\,\text{ft}=12\,\text{in}

1 lb=0.45359237 kg1\,\text{lb}=0.45359237\,\text{kg}

Методические приёмы перевода и размерности

Главный принцип перевода — использование тождественного коэффициента равного единице: дробь с числителем и знаменателем, равными одной и той же величине в разных единицах. Этот приём позволяет сохранять численную информацию, изменяя только единицы измерения.

1=100 cm1 m1=\frac{100\,\text{cm}}{1\,\text{m}}

Для проверки корректности преобразований полезен анализ размерностей: сравнивают размерности левой и правой частей уравнения. Если размерности не совпадают, в формуле или переводе допущена ошибка.

[F]=[M][L][T]−2[F]=[M][L][T]^{-2}

[v]=[L][T]−1[v]=[L][T]^{-1}

Практические примеры перевода

Пример 1. Перевести 1 km=1000 m1\,\text{km}=1000\,\text{m} в метры. Решение: используем коэффициент 1 km=1000 m1\,\text{km}=1000\,\text{m} и получаем 5 km=5⋅1000 m=5000 m5\,\text{km}=5\cdot1000\,\text{m}=5000\,\text{m}.

Пример 2. Перевести 1 cm=0.01 m1\,\text{cm}=0.01\,\text{m} в метры. Решение: 200 cm=200⋅0.01 m=2 m200\,\text{cm}=200\cdot0.01\,\text{m}=2\,\text{m}.

Пример 3. Скорость 20 метров в секунду перевести в километры в час. Пользуемся соотношением 1 m⋅s−1=3.6 km⋅h−11\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=3.6\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}. Итог: 20 m⋅s−1=20⋅3.6 km⋅h−1=72 km⋅h−120\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}=20\cdot3.6\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}=72\,\text{km}\cdot\text{h}^{-1}.

Пример 4. Давление в паскалях перевести в единицы СГС. Используем отношения 1 N=105 dyn1\,\text{N}=10^{5}\,\text{dyn} и 1 Pa=10 dyn⋅cm−21\,\text{Pa}=10\,\text{dyn}\cdot\text{cm}^{-2} для преобразования единиц давления и получаем соответствующее значение в дин/см1 km=1000 m1\,\text{km}=1000\,\text{m} (обозначение единицы — через принятый в СГС стандарт). Для общей ориентации: 1 atm=101325 Pa1\,\text{atm}=101325\,\text{Pa}.

Советы по работе с переводами в задачах

1) Всегда выписывайте исходные единицы и требуемые единицы; 2) Применяйте коэффициенты-префиксы и умножайте на соответствующие степени десяти; 3) Применяйте правило сокращения единиц для проверки. При работе с несколькими шагами удобно писать преобразования построчно, избегая ошибок в порядке величин.

При вычислениях с физическими формулами следите за тем, чтобы все используемые величины были приведены к одной системе единиц до подстановки в выражение. Это особенно важно при работе с формулами типа E=12mv2E=\tfrac{1}{2}mv^{2}, где скорость должна быть в метрах в секунду, чтобы энергия получилась в джоулях в системе СИ.

Иллюстрация типов шкал и соотношений может быть полезна при повторении материала: {IMAGE_0}

Пример 5. Перевести массу 150 фунтов в килограммы, используя 1 lb=0.45359237 kg1\,\text{lb}=0.45359237\,\text{kg}. Решение: 150 lb=150⋅0.45359237 kg=68.0388555 kg150\,\text{lb}=150\cdot0.45359237\,\text{kg}=68.0388555\,\text{kg}.

Заканчивая конспект, подчеркнём: практическая уверенность в переводах приходит с выполнением множества упражнений и внимательностью к размерностям. Всегда проверяйте промежуточные шаги и используйте табличные значения коэффициентов перевода для точных расчётов.