Дифракция и правила работы решётки

Введение в дифракцию

Дифракция — это явление отклонения и перераспределения света при прохождении через отверстия или вокруг препятствий, когда размеры этих объектов сопоставимы с длиной волны излучения. В школе дифракцию изучают как одно из проявлений волновой природы света, которое дополняет понятие интерференции и объясняет подвижные картины интенсивности, наблюдаемые за щелями и решётками.

Дифракция - отклонение волн и изменение их амплитуды при встрече с препятствиями или отверстиями, приводящее к образованию характерных интерференционных картин.

Для объяснения дифракционных явлений используют представления о фазовых сдвигах и разности хода волн, исходящих из различных точек источника или щели. На практических экспериментах дифракция хорошо проявляется при освещении тонкой щели, множества щелей и периодических структур — оптических решёток.

Важно отличать дифракцию от простой геометрической тени: дифракционная картина содержит максимум и минимумы интенсивности, а её угловые размеры зависят от соотношения размеров щелей и длины волны.

Дифракция на одной щели и на периодической решётке

Щель - узкое продольное отверстие, через которое проходит свет; ширина щели определяет характер дифракционной картины.

При дифракции на одной щели наблюдается широкая дифракционная огибающая с последовательными минимумами и максимумами внутри. Здесь центральный максимум наиболее яркий и широкий, а положение минимумов определяется соотношением, которое удобно выразить через специальную величину $I(\theta)=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2$ и функцию интенсивности $a\,\sin\theta = k\,\lambda$.

Если вместо одной щели взять множество равномерно расположенных щелей (решётку), то появляются узкие и яркие главные максимумы, расположенные в углах, где волны от всех щелей усиливают друг друга. Положение этих главных максимумов для классической периодической решётки задаётся простым условием $d\,\bigl(\sin\alpha + \sin\beta\bigr) = m\,\lambda$.

Решётка - периодическая структура из щелей или бороздок, характеризующаяся постоянным шагом (периодом) d; решётка действует как средство пространственного распределения длин волн.

Уравнение решётки и общее условие максимумов

Уравнение решётки устанавливает связь между геометрией решётки, углом падения и углом дифракции. В общем случае, когда луч падает на решётку под углом $\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,d\,\sin\theta$, наблюдаемое распределение максимумов описывается общим выражением $\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,d\,\sin\theta$ (в нём введены углы падения и дифракции). В частном случае нормального падения это сводится к условию $d\,\bigl(\sin\alpha + \sin\beta\bigr) = m\,\lambda$.

Физически это выражение означает, что разность хода волн, излучаемых соседними щелями, должна равняться целому числу длин волн. Разность хода часто обозначают через δ, и её величина равна $\sigma=\dfrac{1}{d}$. Фазовая разность между соседними щелями тогда определится формулой $\beta = \dfrac{\pi\,a}{\lambda}\,\sin\theta$.

Номер m в уравнении называется порядком дифракционного максимума; m может быть положительным, отрицательным или нулём (центральный максимум). На практике максимумы высокого порядка могут появляться только при соблюдении геометрических условий и при наличии достаточной монохроматичности излучения.

Интенсивность, огибающая и условия выпадения порядков

Дифракционная картина от решётки представляет собой произведение двух факторов: узкой структуры, обусловленной интерференцией от большого числа щелей, и широкой огибающей, определяемой формой одной щели. Огибающая задаётся функцией $a\,\sin\theta = k\,\lambda$, где величина $I(\theta)=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2$ связана с шириной щели a и углом наблюдения.

Если минимум одиночной щели совпадает с направлением, где решётка давала бы один из своих максимумов, то такой максимум будет исчезать (на практике число наблюдаемых порядков уменьшается). Условие минимума одиночной щели записывают как $m = \dfrac{k\,d}{a}$; совместно с уравнением решётки это даёт правило выпадения порядков в виде соотношения $\dfrac{d\theta}{d\lambda}=\dfrac{m}{d\cos\theta}$.

Кроме того, интенсивность отдельных максимумов зависит от числа щелей N: при большом N главные максимумы становятся очень узкими и интенсивными, а фоновая интерференция между ними уменьшается. Форма и ширина максимумов определяют как удобство разрешения спектра и требования к коллимации входного пучка.

Дисперсия и разрешающая способность решётки

Дисперсия - величина, характеризующая угловое разнесение близких длин волн при прохождении через оптическую систему; для решётки дискриминация длин волн выражается через угловую дисперсию $R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=m\,N$.

Угловая дисперсия показывается формулой $R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=m\,N$, полученной дифференцированием уравнения решётки по длине волны. Чем больше порядок m и чем меньше период d, тем сильнее угол меняется при изменении длины волны — то есть выше дисперсия.

Разрешающая способность - способность решётки разделять близкие по длине волны спектральные линии. Теоретическое значение разрешающей способности определяется простым соотношением $\Delta\theta\approx\dfrac{\lambda}{N\,d\,\cos\theta}$, где N — число эффективно работающих щелей, а m — порядок.

Практически разрешение связано с шириной главного максимума, которая приближённо оценивается выражением $\sin\theta\approx\theta\quad(\text{при малых }\theta)$. Для повышения разрешающей способности увеличивают количество штрихов N, работают в больших порядках m и улучшают коллимацию пучка.

Правила работы с решёткой и примеры

При настройке оптической схемы с решёткой следует учитывать угол падения, чёткость коллимации и монохроматичность источника. Часто применяют выражение для плотности линий σ, связывающее период с практическим параметром: $\lambda=\dfrac{d\,\sin\theta}{m}$. Это удобно для подбора решётки по техническим характеристикам (штрих/мм и т.п.).

Важные практические рекомендации: соблюдать нормальную или точно известную геометрию падения света, минимизировать расходимость пучка, учитывать возможное совпадение минимума одиночной щели с максимумом решётки и использовать фильтры или призмы для отбора нужного порядка при необходимости. Кроме того, для визуализации картины полезно применять экран или фотодетектор с достаточно высоким разрешением. {IMAGE_0}