Анализ графиков движения

Основные понятия

Графики движения — это наглядный способ представить зависимость кинематических величин от времени. Наиболее часто используют три вида графиков: положение (координата) x(t), скорость v(t) и ускорение a(t). Правильный разбор графика помогает быстро определить характеристики движения: скорость, направление, ускорение и пройденный путь.

Перемещение - векторная величина, равная разности конечной и начальной координат и учитывающая направление движения.

Скорость - векторная величина, характеризующая быстроту изменения координаты во времени; для мгновенной скорости используют производную координаты по времени.

Ускорение - векторная величина, характеризующая скорость изменения скорости во времени.

Мгновенная скорость определяется как производная координаты по времени: $v=\frac{dx}{dt}$. Это выражение позволяет связать наклон графика x(t) с величиной скорости в конкретный момент.

Мгновенное ускорение равно производной скорости по времени: $a=\frac{dv}{dt}$. Средняя скорость на отрезке времени находится по отношению изменения координаты к длительности промежутка: $\bar v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Перемещение между двумя моментами времени можно записать как разность координат: $\Delta x=x(t_2)-x(t_1)$.

График положение — время (x(t))

На графике x(t) наклон касательной в данной точке численно равен мгновенной скорости. Формально наклон между двумя точками даётся формулой: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Для функции координаты это совпадает с определением мгновенной скорости: $v=\dfrac{dx}{dt}$.

Изогнутая линия на x(t) указывает на изменение скорости во времени — то есть на наличие ускорения. Связь между ускорением и координатой выражается через вторую производную: $a=\dfrac{d^2x}{dt^2}$.

Горизонтальная линия на графике x(t) означает, что скорость равна нулю: $v=0$. В таких участках тело либо покоится, либо меняет направление при наличии перехода через экстремум координаты.

Примерная форма x(t) можно показать на рисунке: {IMAGE_0}

График скорость — время (v(t))

Площадь под графиком v(t) между двумя моментами времени равна перемещению на этом интервале, то есть интегралу скорости по времени: $\Delta x=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.

При постоянном ускорении скорость изменяется по линейному закону: $v(t)=v_0+at$. Это упростит вычисления: при прямолинейном равнопеременном движении график v(t) — прямая.

Если известно значение скорости в начале и в конце интервала, перемещение за интервал можно найти как площадь трапеции (или средняя скорость умноженная на время): $\Delta x=\dfrac{(v_1+v_2)}{2}(t_2-t_1)$.

Типовой вид v(t) и его площади визуализируются на следующем рисунке: {IMAGE_1}

График ускорение — время (a(t))

Ускорение — это производная скорости по времени: $a(t)=\dfrac{dv}{dt}$. На графике a(t) вертикальные скачки или изменения указывают на изменение динамики, например на начало/конец действия силы.

Если ускорение постоянно, то скорость получается интегрированием ускорения: $v(t)=v_0+\displaystyle\int a\,dt$. Это обратная операция по сравнению с производной и соответствует суммированию приращений скорости.

Связь ускорения с координатой представляется второй производной: $a=\dfrac{d^2x}{dt^2}$. Эта формула удобна при анализе кривизны графика x(t) и поиске экстремумов.

Приёмы анализа и типичные задачи

Последовательность действий при анализе графика: (1) определить, какие оси отложены (x(t), v(t) или a(t)); (2) найти характерные точки (пересечения, экстремумы, разрывы); (3) вычислить наклоны отрезков и площади под кривыми; (4) сопоставить знаки величин с направлением движения. Формула наклона между двумя точками часто используется при численном расчёте скорости: $\text{slope}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Разбор графиков требует аккуратности при выборе интервала и учёта знаков величин: отрицательный наклон v(t) означает движение в противоположном выбранному положительном направлении; отрицательная площадь под v(t) уменьшает суммарное перемещение. В задачах важно проверять единицы измерения и при необходимости приводить их к одной системе.

Практика: научитесь быстро определять из графиков моменты смены знака скорости, моменты максимума и минимума координаты (экстремумы), и вычислять площади под v(t) простыми геометрическими формулами — это ускорит решение большинства школьных задач по кинематике.