Задания № 18, 22 · ЕГЭ

Рекуррентное соотношение

Как задают последовательность через предыдущие значения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Рекуррентное соотношение — это правило, которое выражает очередной член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Вместе с начальными значениями оно однозначно задаёт последовательность и часто используется в алгоритмах и вычислениях.

Равенство вида \(a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},\ldots)\), связывающее член последовательности с предыдущими членами. Чтобы начать вычисления, указывают начальные условия: один или несколько первых членов последовательности.

Как задаётся последовательность

Обычно запись содержит две части: рекуррентное правило и начальные условия. Например, если правило использует \(a_{n-1}\) и \(a_{n-2}\), нужно задать как минимум \(a_1\) и \(a_2\). После этого члены находят по порядку, подставляя уже вычисленные значения.

\[a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_{n-k}),\quad n>k\]

№

Пример

Пусть \(a_1=2\), \(a_2=3\), а \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\). Тогда \(a_3=3+2=5\), \(a_4=5+3=8\), \(a_5=8+5=13\). Так получается последовательность \(2,3,5,8,13,\ldots\).

Не путайте

Рекуррентное соотношение — это не явная формула члена. Явная формула сразу выражает \(a_n\) через номер \(n\), например \(a_n=2n\). Рекуррентное правило требует предыдущих значений и начальных условий.

Такие правила лежат в основе динамического программирования: значение для текущего состояния получают из уже решённых меньших состояний. В частности, рекуррентная запись помогает описывать переходы в задачах на последовательности и игры.

Проверьте себя

Какие начальные значения нужны для правила \(a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}\)?

Главное за минуту

Главное

Рекуррентное соотношение выражает текущий член через предыдущие.
Для однозначного задания нужны рекуррентное правило и достаточное число начальных условий.
При вычислении члены находят последовательно; такой подход используется в динамическом программировании.