Окружности: уравнения и свойства
Определение и геометрическая интерпретация
множество точек на плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки, называемой центром.
Интуитивно окружность можно воспринимать как «контур» круга: все точки, равноудалённые от центра. Для работы в координатах удобно записывать это свойство формулой, которая задаёт множество таких точек.
Запись уравнения окружности в аналитической геометрии позволяет переходить от чистой геометрии к алгебре и вычислениям. Ниже даётся стандартная форма уравнения и её интерпретация.
Стандартное и общее уравнения окружности
Если центр окружности имеет координаты a и b, а её радиус равен r, то уравнение множества точек на окружности задаётся равенством \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Альтернативно можно писать уравнение в разложенном виде, когда появляется угол переменных второго порядка и линейные члены. Общая форма уравнения окружности записывается как \(x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0\).
Перевод из стандартной формы в общую и обратно — простое алгебраическое действие: квадраты раскрываются, собираются подобные члены, и получается общая форма. Это удобно для сравнения и для аналитических преобразований.
Нахождение центра и радиуса из общего уравнения
Из уравнения вида \(x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0\) коэффициенты позволяют восстановить координаты центра. Формула для координат центра в терминах коэффициентов D и E имеет вид \(\left(-\dfrac{D}{2},\; -\dfrac{E}{2}\right)\).
Радиус окружности при этом вычисляется по формуле \(r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}\). Эта формула получается после аккуратного завершения квадрата по x и y и перехода к стандартному виду.
При практических вычислениях полезно сначала проверить, что выражение под корнем положительно: в противном случае уравнение не задаёт реальную окружность (радиус оказывается мнимым или нулевым в вырожденном случае).
Расстояние между точками, пересечение с прямой, дискриминант
Для многих задач требуется вычислять расстояние между двумя точками с координатами x_1, y_1 и x_2, y_2. Формула для этого расстояния записывается как \(d\;=\;\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
Если требуется найти точки пересечения окружности с прямой, прямая часто задаётся в виде зависимости y от x: \(y = m x + c\). Подстановка этого выражения в уравнение окружности даёт уравнение только по x, которое является квадратным.
После подстановки получаем равенство вида \((x - a)^2 + (m x + c - b)^2 = r^2\), которое можно привести к каноническому квадратному уравнению вида \((1 + m^2)\,x^2 + 2\bigl(m(c - b) - a\bigr)\,x + \bigl(a^2 + (c - b)^2 - r^2\bigr) = 0\), где A, B и C — соответствующие коэффициенты, зависящие от параметров прямой и окружности. Для этого вводят дискриминант \(\Delta = B^2 - 4 A C\).
По значению дискриминанта различают случаи: если выполняется \(\Delta > 0\), то прямая пересекает окружность в двух точках; если \(\Delta = 0\), то прямая является касательной; если \(\Delta < 0\), то пересечений нет (пустое множество над R).
Касательная, хорды и длина хорды
прямая, имеющая с окружностью одну общую точку и перпендикулярная радиусу, проведённому в точку касания.
Уравнение касательной, проведённой в заданную точку окружности с координатами x_1 и y_1, можно записать в компактной форме, если окружность задана стандартно: \((x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2\).
Если прямая пересекает окружность в двух точках, образуется хорда. Длина хорды можно выразить через расстояние d от центра до этой прямой: \(L = 2\sqrt{r^2 - d^2}\). Эта формула выводится из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, опущенной на хорду перпендикуляром, и половиной хорды.
Расстояние от точки с координатами x_0, y_0 до прямой, заданной в общем виде A x + B y + C = 0, вычисляется по формуле \(d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\). В частности, подставив в неё координаты центра, можно получить нужное d для формулы длины хорды.
Мощность точки и радикальная ось двух окружностей
относительно окружности — это величина, равная разности квадрата расстояния от этой точки до центра и квадрата радиуса. Для точки с координатами x_0, y_0 мощность записывается как \(\Pi = (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2\).
Для двух окружностей с уравнениями \((x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2\) и \((x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2\) разность этих уравнений даёт уравнение линии, называемой радикальной осью. Формально это записывается как \((x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 - r_1^2 - \bigl((x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 - r_2^2\bigr) = 0\).
После упрощения получаем линейное уравнение радикальной оси, обычно приводимое к виду \(2(a_2 - a_1)x + 2(b_2 - b_1)y + \bigl(a_1^2 + b_1^2 - r_1^2\bigr) - \bigl(a_2^2 + b_2^2 - r_2^2\bigr) = 0\). Радикальная ось состоит из точек, у которых мощности относительно обеих окружностей равны; она перпендикулярна прямой, соединяющей центры окружностей, и играет важную роль при решении задач на общие хорды и пересечения.
Пример 1. Пусть дана окружность с центром в точке с координатами 2 и -1 и радиусом 3. Уравнение этой окружности в стандартной форме записывается как \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\).
Найдём уравнение касательной в точке (5, -1), принадлежащей этой окружности. Подставляя координаты точки в формулу касательной \((x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2\) и упрощая, получаем уравнение \(x = 5\). Это наглядный пример того, как касательная может оказаться вертикальной в координатах.
Пример 2. Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом 5, а также прямую y = x. Пересечение задаётся системой, эквивалентной уравнению \((x - a)^2 + (m x + c - b)^2 = r^2\) с a = 0, b = 0, m = 1, c = 0. Решение приводит к значениям координат x, равным \(x = \pm \sqrt{\dfrac{25}{2}},\quad y = x\), при этом соответствующие значения y равны x. Это иллюстрирует ситуацию с двумя симметричными точками пересечения.
Материалы этого конспекта дают набор инструментов для аналитической работы с окружностями: переходы между формами уравнений, критерии пересечений с прямыми, работа с касательными, хордами и радикальными осями. Эти знания полезны как для чистой геометрии, так и для практических задач в информатике, где требуется анализ геометрических конфигураций и вычисления в координатах.