Рішення: Графік залежності проєкції швидкості від часу

Переміщення тіла за певний час на графіку залежності швидкості від часу ($v_x(t)$) чисельно дорівнює площі під графіком, взятої з відповідним знаком.

Розділимо рух на два інтервали для зручності розрахунку площ: від $t=0$ с до $t=3$ с та від $t=3$ с до $t=6$ с.

1. Переміщення за інтервал від $t=0$ с до $t=3$ с. Ця область є трапецією з паралельними сторонами, що відповідають швидкостям $v_x(0)=10$ м/с та $v_x(3)=20$ м/с, і висотою $3$ с. Площа трапеції (переміщення) $S_1$ дорівнює:

2. Переміщення за інтервал від $t=3$ с до $t=6$ с. Для цього потрібно знайти час $t_0$, коли швидкість $v_x$ стає нульовою. На цьому інтервалі графік є прямою лінією. Швидкість змінюється від $v_x(3)=20$ м/с до $v_x(6)=-10$ м/с. Прискорення $a = \frac{-10 - 20}{6 - 3} = \frac{-30}{3} = -10$ м/с$^2$. Рівняння швидкості: $v_x(t) = v_x(3) + a(t-3) = 20 - 10(t-3)$. При $v_x(t_0)=0$: $0 = 20 - 10(t_0-3) \Rightarrow 10(t_0-3) = 20 \Rightarrow t_0-3 = 2 \Rightarrow t_0 = 5$ с. Ця область складається з двох трикутників: один над віссю від $t=3$ до $t=5$ і другий під віссю від $t=5$ до $t=6$.

Площа першого трикутника (від $t=3$ до $t=5$): $S_{2a} = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота} = \frac{1}{2} \cdot (5-3) \text{ с} \cdot 20 \text{ м/с} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ с} \cdot 20 \text{ м/с} = 20 \text{ м}$.

Площа другого трикутника (від $t=5$ до $t=6$): $S_{2b} = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота} = \frac{1}{2} \cdot (6-5) \text{ с} \cdot (-10) \text{ м/с} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ с} \cdot (-10) \text{ м/с} = -5 \text{ м}$.

3. Загальне переміщення $\Delta x$ автомобіля за 6 с є сумою площ: