Рішення: Як змінилися кінетична енергія і період супутника?

Для супутника, що рухається по коловій орбіті під дією гравітаційної сили, сила тяжіння дорівнює доцентровій силі: $G \frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$, де $G$ — гравітаційна стала, $M$ — маса центрального тіла, $m$ — маса супутника, $r$ — радіус орбіти, $v$ — орбітальна швидкість. Звідси випливає, що квадрат швидкості $v^2 = G \frac{M}{r}$.

Кінетична енергія супутника визначається як $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Підставивши вираз для $v^2$, отримаємо $E_k = \frac{1}{2}m \left(G \frac{M}{r}\right) = \frac{GMm}{2r}$. Оскільки супутник переходить на "віддаленішу" орбіту, радіус $r$ збільшується. Таким чином, кінетична енергія $E_k$ (з $r$ у знаменнику) зменшується.

Період обертання $T$ супутника пов'язаний з радіусом орбіти через третій закон Кеплера, який можна вивести з $T = \frac{2\pi r}{v}$. Підставляючи $v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$, отримуємо $T = \frac{2\pi r}{\sqrt{G \frac{M}{r}}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$.

Оскільки радіус $r$ збільшується, а $T$ пропорційний $r^{3/2}$, то період обертання $T$ також збільшується.