Решение: Максимальный и минимальный путь
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 26$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде «вправо» Робот перемещается в соседнюю правую клетку; по команде «вниз» — в соседнюю нижнюю. При попытке пересечь границы (внутренние и границы квадрата) Робот разрушается. Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.
Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю.
Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N \times N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.
| Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 4 |
| 10 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 12 | 2 |
| 2 | 3 | 5 | 6 |
Решение по шагам
3 шагаКаждый маршрут из левой верхней клетки в правую нижнюю содержит одну и ту же последовательность перемещений: $N-1$ перемещений вправо и $N-1$ перемещений вниз. Для каждой клетки вычислим максимальную и минимальную сумму монет на пути из начальной клетки.
В первую клетку записываем её стоимость. В первой строке и первом столбце значения накапливаются единственным возможным способом.
$$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max(M_{i-1,j},M_{i,j-1}),\quad m_{i,j}=a_{i,j}+\min(m_{i-1,j},m_{i,j-1})$$$Для приведённой таблицы после заполнения динамических таблиц в правой нижней клетке максимальная сумма равна 41, а минимальная — 27.
$$$M_{4,4}=41,\quad m_{4,4}=27$$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать монеты в начальной или конечной клетке.
При поиске минимальной суммы выбирать большее из двух возможных значений.
Перепутать порядок чисел в ответе.