Решение: Максимальный и минимальный путь
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде «вправо» Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде «вниз» — в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.
Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.
Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю. Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N \times N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.
Пример входных данных:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 4 |
| 10 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 12 | 2 |
| 2 | 3 | 5 | 6 |
Решение по шагам
3 шагаПоскольку Робот движется только вправо и вниз, в каждую клетку он может прийти только сверху или слева. Для максимальной суммы выбираем большее из возможных значений, для минимальной — меньшее.
$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max(M_{i-1,j},M_{i,j-1}),\quad m_{i,j}=a_{i,j}+\min(m_{i-1,j},m_{i,j-1})$$Для максимальных сумм получаем последнюю строку таблицы: $14, 17, 35, 41$. Следовательно, максимальная сумма равна $41$.
$$M_{4,4}=41$$Для минимальных сумм получаем последнюю строку таблицы: $14, 16, 30, 36$. Следовательно, минимальная сумма равна $36$.
$$m_{4,4}=36$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать монеты в начальной или конечной клетке.
Перепутать порядок ответа: сначала требуется максимальная, затем минимальная сумма.
Для минимального маршрута выбирать локально наименьшую соседнюю клетку вместо применения динамического расчёта.