Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 13 Октября

Дан треугольник $AQK$ с прямым углом $A$ и сторонами $\mathrm{QK\; =\; 50}$ и $\mathrm{AK\; =\; 30}$. Найдите $\mathrm{cosQ}$.

Векторы $\overrightarrow{a}(23;-1)$ и $\overrightarrow{b}(1;17)$ заданы своими компонентами. Определите их скалярное произведение.

Найдите объём многогранника в прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, вершинами которого являются точки $C$, $A$, $D$ и $A_1$, если $AB=6$, $BC=1$, $A{A}_1=11$.

Вероятность того, что в турнире по футболу команда выиграет больше 6 матчей, равна 0.74. Вероятность того, что команда выиграет больше 5 матчей, равна 0.85. Найдите вероятность того, что команда выиграет ровно 6 матчей.

На выставке в музее ожидается поток посетителей. Вероятность того, что за день придет больше 39 посетителей, равна 0.86. Вероятность того, что придет больше 18 посетителей, равна 0.66. Найдите вероятность того, что количество посетителей будет от 19 до 39.

Решите уравнение ${\log }_7(x-5)={\log }_{49}\left(16\right)$

Вычислите значение для $\frac{{\left({343}^{10}\right)}^{-3}}{{\left(7^{10}\right)}^{-9}}$

На рисунке изображён график функции y = $\mathrm{p(x)}$. Сколько точек среди  x₀, x₁, x₂ имеют отрицательное значение производной функции?

Катер, двигаясь по реке со скоростью 13.5 м/с, начал снижать скорость с ускорением 2.6 м/с². За t секунд с момента начала снижения скорости он прошел 35 метров. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

На нефтяной платформе две скважины качают нефть. Вторая скважина заполняет резервуар объёмом 4410 литров на 48 часов быстрее, чем первая, так как она пропускает на 56 литров нефти в час больше. Какова скорость работы первой скважины?

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)=a^x+b$. Определите значение функции $f\left(2\right)$.

Найдите минимум функции $6\cdot \sin \left(x\right)-\frac{11}{\pi }\cdot x+11$ на интервале $[-10\cdot \pi ;8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin \left(x\right)\cdot \cos (2\cdot x)+\sin \left(x\right)+(1-{\sin }^2(x\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-7\cdot \pi }{3};\frac{-2\cdot \pi }{3}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $B{B}_1$ = 4, $CD$ = 11.

Решите неравенство $$ \frac{{10}^{x+1}-{80}^x-80+8^{x+1}}{15\cdot x+x^2}$\le 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 8 лет с ежегодным увеличением долга на 10%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3, 4, 5, 6 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наименьший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не меньше 69 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{45°}$, $B_1{C}_1=9$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 5 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$6\cdot x>x^2+a^2$ $x+a>=26$ $6\cdot a<=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[5;20]$.

Есть три коробки. В одной из них 106 камней, в другой — 0, а в третьей — 103. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 90 камней, во второй — 0, а в третьей — 119?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 209 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?