Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 23 Августа

В окружности с центром в точке $C$ отрезки $\mathrm{OK}$ и $\mathrm{RA}$ являются диаметрами. Угол $\mathrm{OKR}$ равен $\mathrm{31°}$. Найдите угол $\mathrm{OCA}$. Ответ дайте в градусах.

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(30;-8)$ и $\overrightarrow{b}(5;12)$.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 4 раз, а все остальные параметры сохранятся.

В кинотеатре 20 мест, из которых 12 мест - неудобные места вблизи прохода и вбок от центра. Найдите вероятность того, что при случайном выборе зрителю в кинотеатре достанутся неудобные места.

Производители холодильников утверждают, что вероятность того, что температура внутри устройства поднимется выше чем 2.3℃, равна 0.87. Какова вероятность того, что температура внутри холодильника будет ниже 2.3℃?

Решите уравнение: $2^{4\cdot \mathrm{x\; +\; 4}}=16$.

Найдите значение выражения $\frac{4^{-5.4}\cdot {12}^{8.4}}{3^{6.4}}$

На графике изображён график функции y = $\mathrm{f(x)}$. На оси абсцисс отмечены точки -6, -5, -1, 1, 5. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Сопротивление радиоприемника, подключенного к сети с напряжением 160 В, должно быть достаточно большим. Если сила тока, вычисленная по формуле $I=\frac{U}{R}$, больше 0.1 А, радиоприемник не будет работать. Определите минимальное сопротивление, при котором радиоприемник будет работать. Ответ дайте в омах.

Моторная лодка прошла по течению реки 3600 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 часов больше. Определите скорость лодки, если скорость течения равна 1 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=3$.

Найдите точку максимума функции $y=15\cdot x^3-19\cdot x^2-1$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${16}^{\sin \left(x\right)}-6\cdot 4^{\sin \left(x\right)}+8=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\cdot \pi ;\frac{-7\cdot \pi }{2}]$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $A{A}_1$ = 11, $AB$ = 2.

Решите неравенство $$ \frac{50-{50}^x-{25}^x+2^{x+1}}{-23\cdot x+x^2}$\le 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=10$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 4 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$14\cdot x<x^2+a^2$ $8\cdot a>=x$ $x+a>=27$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[6;9]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 687?
2) Может ли сумма быть равна 390?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 3-значных исходных чисел?